О том, чем открытия в математике сродни географическим, о роли спортивного азарта и денежных премий, о взаимосвязи физики и математики Михаил Гельфанд побеседовал с гл. науч. сотр. Санкт-Петербургского филиала Математического института РАН Анатолием Вершиком. Полная версия интервью.
— Почему заниматься математикой интересно?
— На самом деле, почему мы занимаемся математикой — это очень трудный вопрос. Я думаю, что это не вполне наше решение. Действительно, мне интересна математика, и я не мог бы себя заставить не заниматься ею. Тут стоит вспомнить формулировку Юрия Манина в интервью с вами [1], осознанно или неосознанно заимствованную у Бродского: «Математика выбирает нас» (Бродский говорил, что не мы выбираем язык, а язык выбирает нас). Такая формулировка близка и мне.
— Думаю, что почти наверняка осознанно…
— Наверно осознанно, мы не успели с ним это обсудить. Эта фраза про язык встречается у Бродского много раз. Моя дочь, которая знает десять языков, а ее любимый язык — эстонский, который она выучила самостоятельно еще в школе, — очень хорошо комментирует это изречение Бродского и даже иллюстрирует его собой: ее выбрал эстонский язык. Так что язык, как и математика, выбирает нас самих. Не знаю, можно ли отнести это утверждение ко всем математикам, потому что, конечно, есть и те, кому математика интересна лишь иногда, — для них формула должна быть другой. Но для большей части моих друзей-коллег математика более или менее интересна всегда. Это вовсе не значит, что всё остальное им не интересно. Нет, конечно: хорошо знаю это по себе.
— И вы до сих пор активно занимаетесь математикой?
— Да, я активно занимаюсь математикой, постоянно думаю о ней. Более того, не сочтите за математическое высокомерие, но размышления на любые другие темы либо огорчают меня, особенно последнее время, либо кажутся мелкими. Иногда я думаю, что устройство математического мира, что бы это ни означало, — идеально, стерильно, сложно и стройно, только пропуск в него очень ограничен. Думаю, что другого такого мира нет.
Но занятие математикой, как и любое человеческое занятие, особенно интеллектуальное, — приносит и много отрицательных эмоций и даже разочарований. В этом мире трудно работать, хотя бы потому, что, как правило, задуманное вами может очень долго не получаться, и возникает страх, что вообще не получится, и становится непонятно, продолжать ли думать или бросить.
Но зато если задуманное после многих изменений, привлечения новых соображений и т. д. реализуется, то торжество ясности с лихвой оправдывает все потери времени и сил. Это бывает не часто.
Может быть, в этих блужданиях внешне много общего с географическими открытиями. Вот как раз сейчас я плаваю, пытаюсь открыть — или, точнее, соорудить — новый материк, обдумываю это с разных сторон и хочу думать, что перебираемые попытки все-таки приведут куда-то, но… Кто знает.
— Ощущение того, что что-то получается, зависит от возраста?
— Я думаю, что с возрастом математик ставит перед собой всё более жесткие задачи, или нередко — задачи из новых для себя областей, но сам критерий «получаемости» вряд ли меняется, если вы, конечно, не делаете себе поблажек.
— Но критерии на самом деле связаны с внутренними ощущениями того, получилось или нет. С точки зрения этого ощущения удовлетворенность работой приходит чаще или реже?
— Получилось или нет — это не внутреннее ощущение, а скорее объективная вещь. Помню, мы обсуждали один наш результат с Израилем Моисеевичем <Гельфандом>, когда работали с ним и М. И. Граевым, и он с присущим ему лаконизмом дал такую несколько вольную формулировку: «Если, — сказал он, — появился ребенок, значит, получилось».
— Тогда это скорее не как рождение ребенка, а как беременность…
— Он хотел сказать, что получилось или нет — совершенно очевидно. Но, с другой стороны, это правда, что оценка сделанного (или несделанного) — это отдельный вопрос, и ответ на него, конечно, субъективен. Он связан с вашими собственными критериями и ожиданиями и может отличаться от того, что считают другие. На тему о том, как различить, хорош результат или нет, уместно рассказать один, тоже несколько вольный, апокриф.
В Москву (еще в предвоенные годы) приехал выдающийся французский математик Жак Адамар. После доклада ему среди прочего задали немножко угоднический вопрос: «Скажите, как отличить хороший результат от плохого?» В ответ он рассказал такую притчу. У одного султана был евнух, обязанностью которого было приводить султану девушек. Султану выбор евнуха не нравился, и он пригрозил казнить его, если тот не исправится. Евнух пошел на базар, увидел там бездомного и пожаловался ему. Тот сказал, что нет ничего проще, и помог евнуху выбрать девушку.
Султан остался доволен. Бездомный помог и во второй раз, и в третий. Наконец недоумевающий евнух решил спросить бездомного, почему у того такой хороший выбор, а его выбор плох. Ответ был очень прост: «Надо иметь соответствующий орган», — сказал бездомный. Математики часто вспоминают эту притчу. Я слышал ее от моего учителя В. А. Рохлина.
— Есть точка зрения, что хорошую математику, наоборот, делают молодые люди, а потом это уже идет на автомате и никаких прорывов не бывает. Я не знаю, правда это или нет, но Филдсовскую премию дают людям до сорока лет с мотивировкой, что после сорока всё равно уже ничего не придумаешь.
— В целом правда, хотя мотивировка не такая. Филдсовские медали, думаю, связаны с другой шкалой ценностей. Например, я думаю, что человек, который когда-нибудь докажет гипотезу Римана, если таковой (один или один из авторов) найдется, — будет старше сорока лет. Ставить перед собой в качестве цели решение какой-то известной и крупной проблемы мне кажется или смешным, или подозрительным.
В математике есть канонические «заслуженные» проблемы, и решить одну из них очень престижно. Но почти во всех известных и действительно сложных случаях решения приходили «сбоку» или «сверху», или даже «случайно». Коротко говоря, решение использовало совсем не те термины и понятия, в которых проблема ставилась и в которых ожидалось получить ее решение. Дело тут скорее не в возрасте решающего, а в его опыте. Роль опыта очень важна в математике, но малозаметна извне.
— Как вы понимаете, какие задачи интересные, а какие нет?
— Для меня интересные задачи прежде всего должны иметь высокую чисто эстетическую оценку. В математике такие оценки очень субъективны и трудноопределимы. Но всё же есть вещи, которые все математики признают интересными и, главное, красивыми.
Самые простые примеры математической красоты иллюстрируются некоторыми формулами — например, формулы великого Эйлера, законы взаимности Гаусса и так далее. Между прочим, одна моя киевская знакомая устроила опрос математиков о том, какие формулы они считают самыми красивыми, и опубликовала его результаты. Ответы были довольно интересными. Формула Эйлера eiπ = –1, конечно, победила; я назвал другую формулу Эйлера.
Сложнее с оценкой красоты теорий, а не формул. Есть тем не менее некоторое единодушие в оценке красоты (и тем самым, на мой взгляд, и важности) некоторых математических теорий и открытий. Например, классификация простых алгебр Ли (Эли Картан, 1920-е годы), факторы и непрерывные геометрии (Джон фон Нейман), теория коммутативных банаховых алгебр (Гельфанд, 1930-е годы), экзотические сферы (Милнор), энтропия Шеннона-Колмогорова (1950-е годы), К-теория (1960-е годы), гиперболические группы Громова (1980-е годы) и так далее.
Возвращаясь к вашему вопросу. Есть еще одна важная вещь, характерная для нашего времени: интересные и эстетически ценные задачи лежат на пересечении разных математических разделов, априори далеких друг от друга, или, если использовать бурбакистские термины, в них происходит смешение разных структур. Красота часто возникает тогда, когда вы сумели увидеть близость двух совершенно непохожих вещей.
Конечно, никаких общих эстетических критериев быть не может, но если окинуть математику трезвым взглядом, то можно понять, что эстетический взгляд на математику — далеко не всеобщий. Меня легко заподозрить в том, что я недооцениваю роль задач, важных для приложений, но, может быть, выглядящих не слишком изысканно.
Обсуждение этого уводит разговор в сторону — к обсуждению вопроса о взаимоотношениях так называемых прикладных и чисто математических задач. Тут, на мой взгляд, есть много предрассудков вроде того, что «математика есть легкая и недорого стоящая часть физики», но давайте обойдем эту тему. Но к перечню характеристических особенностей математического мира, о котором я говорил, надо добавить красоту и совершенство.
— Имеют ли смысл списки задач, вроде 23 проблем Гильберта и семи «задач тысячелетия» Института Клея?
— Клеевский список, на мой взгляд, не имеет смысла. Давид Гильберт преследовал другую цель: он хотел дать список тех проблем, в которых заключена суть всей математики тех лет — как известных ранее проблем, так и новых, им самим сформулированных. Он мог и сумел это сделать в 1900 году.
А жюри Института Клея в преддверии 2000 года просто выбрало довольно произвольно несколько известных задач; часть из них вполне можно заменить и другими. Ну, конечно, бесспорна гипотеза Римана, которая кочует из списка в список. Мне кажется, еще две задачи бесспорны: гипотеза Пуанкаре и равенство классов P и NP. Но, во-первых, этот список совсем не играет той роли, которую играл список Гильберта, а во-вторых, и это главное, время списков ушло.
— Насколько такие списки будут пересекаться?
— Думаю, в том-то и дело, что очень мало. Потому что списки не могут иметь прежних претензий. На XII Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 году Джону фон Нейману предложили сделать доклад, подобный докладу Давида Гильберта. В те годы фон Нейман был неоспоримым авторитетом и, несомненно, единственным человеком, которому можно было это поручить. И он отказался, сказав, что максимум, на что может претендовать, — это список задач по функциональному анализу.
Вообще, как любят отмечать многие — я с этим согласен — математика не состоит из списка задач и их решений, как представляют себе те, кто знает лишь школьную математику. Есть много других, не менее важных видов математического творчества. Таких, например, как создание новых теорий.
Знаете, каждый сложившийся поэт считает, что он должен создать свою собственную антологию всей поэзии. Вот и математики составляют списки задач, но придавать этому такой глобальный, общемировой характер нельзя.
Что до задач Института Клея, то, как я уже писал в «Заметках Американского математического общества» в статье, которая так и называлась: «Что полезно в математике?» [2], обещание миллиона, на мой взгляд, их только опошляет. Правда, то, что называется американской точкой зрения — я там цитирую ее, — не столь категорично. Добавлю только, что в премиях есть одна безусловная польза: это поддержка способных, начинающих ученых.
Может, не все со мной согласятся, но важный побочный итог нашумевшей истории с проблемой Пуанкаре состоит не только в сенсационном ее доказательстве, полученном Гришей Перельманом, но и в продемонстрированном им полном безразличии к денежным наградам и признаниям. Эта коллизия должна стать, во всяком случае, поучительной для оценки нравов современного общества.
— Проблема в том, что не осталось гигантов, или в том, что математика настолько разрослась, что стало невозможно следить за всем интересным, что происходит?
— Нет, я думаю, что количество гигантов флюктуирует, но в среднем вряд ли сильно меняется. А вот насчет того, что математика стала очень большой — да, но в каком смысле? Она стала очень многослойной. Появилось немало вещей, о которых нельзя сказать заранее, будут они достойны внимания или нет. Есть много примеров полузабытых вещей, которые однажды вдруг стали актуальны. Надо также не забывать, что есть много хороших специалистов не по всей математике, а по какой-то ее части, поэтому человек, претендующий на «звание» гиганта в математике, должен быть сильнее «локальных генералов».
— Ну почему, есть многоборье, а есть бег на конкретную дистанцию, и это разные виды спорта.
— Конечно, но я думаю, что многоборье как образ не очень подходит математике, потому что для многих, в том числе и для меня, остается аксиомой то, что математика едина. И поэтому ее нельзя разделить, как многоборье, на метание копья, стометровку и прыжки с шестом.
— Имеют ли смысл премии и прочее? Сто лет назад всё держалось на репутации, а сейчас вы говорите, что математиков очень много и за всем уследить невозможно…
— Тем не менее репутации есть и сейчас, и они дорого стоят. Мои учителя часто об этом говорили, и я разделяю их мнение.
— А ваши ученики? Есть ли понятие математической репутации в следующих поколениях и если есть, то как оно поддерживается?
— Всё обстоит почти так же, как и в обычной человеческой среде. Всегда есть специалисты, которым доверяешь. Ведь сейчас даже и самые сильные, универсальные математики знают далеко не всё. Поэтому необходим выбор авторитетных «судей» в той или иной области математики, которым доверяют. Такими судьями могут быть любые активно работающие математики, и (в какой-то степени стихийно) возникают оценки и складываются репутации; кстати, нечего и говорить, что настоящие репутации в науке не научными премиями и званиями определяются.
Интересно, конечно, как передаются репутации от поколения к поколению, ведь оценки меняются. Это таинственный вопрос. Я даже предлагал такой тезис: каждые 40–50 лет все важнейшие теоремы математики надо заново передоказывать, чтобы снова оценить их важность и значимость. Что-то при этом будет меняться, но такая ревизия очень полезна.
— По поводу премий: есть и вторая польза — это все-таки некоторый хайп и популяризация…
— Я не раз говорил, что смотрю на популяризацию математики пессимистически, точнее, считаю, что популяризировать ее последние достижения для широкой аудитории просто невозможно. А популяризация, состоящая в больших премиях, вряд ли вообще имеет смысл.
— А в физике?
— А в физике — можно. Математика, в отличие от физики и всех остальных наук, занимается не окружающим, а своим собственным миром.
— Современная физика тоже занимается непонятно чем.
— Но все-таки… Понимаете, поиск «теории всего» — вещь, конечно, не очень понятная (и самим физикам), но все-таки можно объяснить, к чему она, а в математике… Как, например, объяснить «популярно», зачем нужно изучать соответствие Ленглендса (Robert Langlands), который, кстати, только что получил премию Абеля?
<…> Надежная популяризация в нашей науке относится только к чему-то законченному, вошедшему если не в начальное образование, то в программу младших курсов университета. Меня недавно допрашивал интервьюер с психологическим образованием: «Что вы сейчас делаете?», но что я могу объяснить выпускнику психологического факультета?
— Есть известное высказывание Ричарда Фейнмана, что если вы не в состоянии объяснить своей бабушке, чем вы занимаетесь, то вы занимаетесь шарлатанством.
— Это скорее красивая фраза. Физики в этом смысле могут, популяризируя, упрощая, достичь результата, сохранив смысл, поскольку они апеллируют к опыту, который есть у всех слушателей. У математиков дело сложнее. Могу это проиллюстрировать своим опытом объяснения журналистам гипотезы Пуанкаре в 2006–2007 годах. Это было даже смешно: пытаешься рассказать, в чем проблема, а потом читаешь их объяснения: всё дело в том, что двумерный тор и двумерная сфера — разные вещи, потому что у сферы нет ручки, а у тора — есть и так далее.
Объяснения бесполезны и вряд ли нужны без какого-то базового образования у слушателей. Стоит пояснить для нематематика, в чем причина крайнего неудовольствия самого математика, пытающегося популяризировать что-то. Неудовольствия не слушателями, а самим собой. Дело в том, что популяризировать решение какой-то математической задачи для математика означает говорить о доказательстве. Но всякое «почти доказательство», то есть пропуск деталей, который необходим при популяризации, уже не есть настоящее доказательство. Это и создает у честного рассказчика ощущение, что он обманывает публику.
— Совсем невозможно?
— В математике всегда можно найти такие вещи, которые можно объяснить без обмана. Для привлечения молодежи, интересующейся математикой, возможность популяризации ее классики более чем обширна, так что не стоит быть пессимистом.
Например, таковы замечательные книжки «старого» Перельмана о занимательной математике и масса более поздней литературы для школьников. О некоторых задачах из теории чисел можно с успехом говорить. Неважно даже, были ли они решены сейчас или сто лет назад.
Конечно, нельзя предъявлять к популяризации науки чрезмерные требования, но, к сожалению, в математических материях даже суть постановки вопроса в самых общих чертах нельзя донести до простолюдина. Крайняя точка зрения, которую как-то в беседе со мной выразил Гриша Перельман в ответ на мое предложение рассказать о его работе на институтском семинаре: «Все объяснения — обман». Другое дело, что слушателей часто устраивает «сладкий обман». Так что стоит помнить, что популяризация математики, увы, не касается последних достижений науки.
— Это означает, что математики вообще не могут разговаривать друг с другом?
— Друг с другом еще могут, потому что они видят, а главное — не скрывают, кто, где и что недоговорил. А непрофессионал этого и не заметит. Есть полезная формулировка, используемая при объяснениях: «Сейчас я вас обману, но через некоторое время скажу точнее». Очень хорошо, если сможешь сказать точнее, но, как правило, цепочка уточнений уходит очень далеко.
Вообще эта проблема популяризации, на мой взгляд, является языковой или даже логической, и, по-моему, она никогда не изучалась. Конечно, здесь особое положение математики еще и в том, что статус понятия «доказательство» в ней совсем не такой, как в любой другой науке.
Во всем этом есть еще один, можно сказать, общественный момент. Если нельзя популярно объяснить важность той ли иной темы исследований, то какими критериями должно руководствоваться общество в широком смысле слова (то есть не только бюрократы, распределяющие деньги на исследования) при оценке актуальности научных направлений и результатов?
Ответ один — нужно доверять тому, что говорят по этому поводу имеющиеся научные авторитеты. Во-первых, в пользу такого доверия говорит то, что возможные ошибки в суждениях авторитетов, во всяком случае, не столь катастрофичны, как ошибки бюрократов и неспециалистов, а во-вторых, как ни странно, мнения авторитетов как правило совпадают, а мнения бюрократов различны, потому что зависят от начальства, которое либо само меняется, либо меняет свои взгляды.
— А до какой степени способны общаться два математика, работающие в разных областях?
— Конечно, они способны общаться, ведь язык у них один. У них разные понятия, разный запас знаний, но все-таки они говорят на одном и том же языке, или на двух родственных языках. Это возможно, полезно и необходимо.
— Математика — соревновательная деятельность? Есть ли там элемент спортивного азарта?
— Ну, конечно, есть спортивный элемент, и он не скрывается. Вот маленький показательный пример тридцатилетней давности, понятный всем. Для умножения двух матриц второго порядка нужно произвести восемь умножений различных элементов перемножаемых матриц. Это видно из определения умножения матриц. Немецкий математик Фолькер Штрассен (Volker Strassen) заметил, что число умножений можно сократить до семи, если сначала некоторым образом линейно преобразовать элементы матриц.
В информатике умножения всегда дороже сто́ят, чем сложения — последние занимают меньше времени. Поэтому идет борьба за уменьшение количества умножений в алгоритмах. Таким образом, получается алгоритм умножения матриц порядка n × n, в котором умножений чисел уже не n3, как в обычной процедуре, а nlog27 ≈ n2,8, что немножко меньше, чем n3.
После этого началась настоящая спортивная борьба за снижение этого показателя. Современный рекорд мне не известен, но есть гипотеза (которая вряд ли доказана), что можно довести показатель почти до двух. Конечно, это чисто соревновательная деятельность, и я не думаю, что она полезна с практической точки зрения, а с теоретической — точно нет. Но важно получить доказательство или опровержение гипотезы.
Другая не то чтобы спортивная, но тоже соревновательная деятельность — это споры о проблеме авторства и о приоритете. Их роднит со спортом то, что это споры самолюбий, а не научные споры, но они бывают довольно жаркими. Любопытно, что часто они возникают по следующей почти необъяснимой причине. В разных частях света незнакомые между собой люди почти в одно и то же время делают более или менее одно и то же открытие в какой-либо новой области. Причины таких совпадений остаются тайной.
На подобные споры часто тратится много эмоций и энергии. Я их не люблю, стараюсь этого не касаться, но с этой реальностью приходилось сталкиваться. В некотором неосуществимом идеале авторства в настоящей (фундаментальной) науке вообще не должно быть, и все достойные работы должны публиковаться анонимно. Это была бы гарантия от всяких околонаучных спекуляций по поводу того, кто первый сказал «Э!» и у какой страны, университета, исследователя выше рейтинг.
— Получается, что все оценки, полученные при помощи компьютера, неинтересны.
— На мой взгляд, у них особая роль. Хорошо известна история с проблемой четырех красок — она якобы решена с помощью компьютерного счета, но большинство математиков этого решения не признает. Компьютер нужен не для решения задач, а для того, чтобы стимулировать человеческую мысль и наше творчество, чтобы, глядя на результаты эксперимента, мы смогли бы принимать или отвергать какие-то предположения.
Например, много лет назад мы искали то, что называется сейчас предельными формами (limit shape), и сделали эксперимент по вычислению формы диаграммы Юнга с числом клеток n = 100). Результат вычислений сразу отмел существовавшие до этого предположения, а после этого удалось получить правильный и совсем не предполагавшийся ответ.
Вообще компьютер необходим в исследованиях необъятной темы, которая состоит из вопроса: «Что будет, если n очень большое», — или, более учено: «Что такое асимптотика?» Мне всегда нравилась идея, высказывавшаяся фон Нейманом (и не только им), что математики, включая и его самого, несколько преувеличивают роль исследования бесконечности, бесконечномерного и так далее в ущерб изучению не бесконечных, но очень больших объектов. Мы встречаемся со свойствами, которых мы не можем увидеть при малых размерностях. Между прочим, это очень современная идея, хотя высказывалась давно.
— Например?
— Об этом особенно выразительно говорится в не очень известной, но глубокой работе фон Неймана 1940 года, которая так и называется: «Аппроксимативные свойства матриц очень высокого конечного порядка». В ней он как раз приводит примеры таких свойств. Более известна замечательная теорема израильского математика Арье Дворецкого (Aryeh (Arie) Dvoretzky) 1950-х годов, которая звучит так: если взять выпуклое множество в пространстве очень большой размерности, то почти все его двумерные сечения будут близки к эллипсу. То же самое относится и к трехмерным сечениям, и вообще к сечениям данной размерности в пространстве намного большей размерности. Например, в тысячемерном пространстве почти все пятимерные сечения будут близки к эллипсоидам.
Эта тематика в настоящее время стала очень популярной. Асимптотическая теория представлений, которой мы занимаемся, также изучает такие эффекты. Здесь сталкиваются разные области — геометрия, теория вероятностей (законы больших чисел), алгебра, анализ и так далее.
— Есть такое объяснение существования сильной советской математический школы в самом широком смысле: умным мальчикам и девочкам некуда было больше деваться. Оно правильное?
— Я считаю, что это лишь одно из объяснений того, почему математика была очень сильной: карьера математика (и физика-теоретика) были почти единственным разумным выбором интеллектуальной или научной карьеры, которая хотя бы отчасти позволяла уйти от неминуемых столкновений с советской идеологической и административной системой.
Но еще важнее, что в стране всегда было много талантов, и, несмотря на то что власть их часто подавляла и сминала, некоторым удавалось пробиться. Должен сказать, что бытующее умильное представление о «золотом веке» в советской математике и вообще в науке в советские времена, поддерживаемое нынешней пропагандой, — неверно и фальшиво. Но, действительно, распределение талантов по различным видам деятельности было сильно искажено в советское время из-за идеологических и авторитарных догм.
— То есть это означает, что бывают хорошие математики, которые вполне могли бы стать хорошими бизнесменами?
— Хорошими менеджерами, гуманитариями, политиками и тому подобное, и у нас есть немало тому примеров. Но всё равно — при несомненном увеличении набора карьерных возможностей для молодежи (боюсь, не станет ли их число снова уменьшаться?) в нынешнем обществе, талантливая молодежь идет в математику с не меньшей энергией.
— Имеет смысл быть неплохим математиком или все-таки надо быть хорошим? В биологии, например, это имеет смысл — рутинных, но абсолютно необходимых работ хватает.
— Есть такая фраза Энрике Ферми — хорошим физиком-экспериментатором может быть человек не очень больших способностей, а вот физик-теоретик обязан быть сильным. Отчасти это верно и в математике. Но менее очевидно, что, хотя в большей степени математическая деятельность — индивидуальное занятие, тем не менее математика может естественно адаптировать разные типы мышления и разные уровни дарований. Проще говоря, в ней есть место для применения более широкого круга интеллектуальных способностей, чем это обычно представляют себе.
Например, не без основания считается, что основным отличием российской математики от западной было наличие сильных математических школ. Это частично верно. Была огромная школа А. Н. Колмогорова, около него была группа математиков разных уровней, была, может быть, наиболее известная в мире математическая школа, которую лучше называть семинаром, И. М. Гельфанда, и так далее.
Фактически это были некоторые сообщества математиков разного уровня, находивших свое место в этой сложной картине, которые взаимодействовали между собой и помогали друг другу. При этом замечу, так как это забывается: далеко не все из этих людей, занимаясь серьезной математикой с первоклассными результатами, имели достойное место работы или учебы. Сейчас это явление — научные математические школы — почти исчезло.
Как ни странно, железный занавес косвенно способствовал тому, что математика в СССР была самодостаточна, то есть в ней было представлено почти всё, что существовало в мировой математике тех лет. Поскольку очень немногие ученые могли ездить за границу и иметь непосредственные контакты с зарубежной наукой, отсутствие контактов отчасти компенсировалось интенсивным изучением доступной научной литературы и так называемым «коридорным образованием» — передачей информации в семинарах, беседах перед ними и тому подобным. Это создавало и поддерживало определенный уровень знаний и компетентности. Но разрушительные последствия, в частности для науки, железного занавеса, сооруженного советской властью, очевидны, хотя и не осмыслены до конца историками науки.
— Какова роль моды в математике?
— Важный вопрос. Есть такое (по-моему, хорошее) отличие математики от физики. В физике самый элитный слой научного сообщества, насколько я знаю, всегда занимается самой важной из признаваемых в данное время тем. Например, сейчас, и уже много лет, в центре внимания физиков-теоретиков теория струн, ранее были другие темы. Интерес к остальным темам, которые остались за бортом по той или иной причине, остывает. Вы говорили о теории твердого тела, есть и другие примеры.
У математиков нет такой традиции, нет перегруппировки сил в погоне за тем, что сейчас модно. Этого и не может быть, потому что в математике нет психологического настроя на такое поведение. Наступившие в последние сорок лет исключительно дружеские отношения между современной математикой и теоретической физикой — таких близких, по-моему, никогда не было — могли повлиять на математику, или ее часть, в том смысле, что тоже появится такая традиция.
В 1970–1980-х годах был период, когда многие математики очень разных профессий бросились изучать интегрируемые задачи, солитоны и прочее. Но, как показало время, мода при выборе приоритетов исследований не стала в математике играть слишком большую роль. Математика достаточно удалена от суеты.
— Ясно, что физика является источником задач, а есть ли другие источники задач, помимо физики?
— Конечно. Экономика, биология, социология. Да всё на свете. Но самый главный источник задач в математике — сама математика. В истории бывали такие почти мистические случаи, когда задача, пришедшая из физики, совпадала с независимо и одновременно появившейся задачей, возникшей в самой математике, — например, обоснование квантовой механики и теория операторов в гильбертовом пространстве в 20-х годах XX века.
Безусловно, запросы других наук исключительно полезны и важны для развития математики. Но очевидная и обоюдная польза таких контактов не должна заслонять одного важного обстоятельства. Как правило, суть задачи, как ее увидел математик и принесший ему эту задачу физик или инженер, рассматривается ими по-разному.
И даже если проблема решена в том смысле, как этого хотел поставивший ее заказчик, математик видит в ней вещи, которые, возможно, малоинтересны заказчику, но именно они для него составляют цимес — главную ценность. Они могут стать началом новой важной математической области, которую математик по конъюнктурным соображениям назовет прикладной, но на самом деле ее собственная ценность для математика более существенна, чем приложения, составляющие лишь поверхностную часть получившейся теории.
— С другой стороны, есть обратная точка зрения, что физики интуитивно делают что-то реальное и интересное, а математики по своей сущности классификаторы в том самом смысле, о котором вы говорили. Физики свободно оперировали дельта-функцией, а математикам пришлось придумывать обобщенные функции, чтобы все-таки куда-то ее поместить.
— Один известный физик честно мне рассказывал о своей учебе в Физтехе — он до последнего курса вообще не понимал, зачем нужна математика, которая «доказывает то, что я давно понимал». Но наступил момент, когда он познакомился с разделом математики, уже давно существовавшим, но почти не известным физикам, и понял его пользу. Речь идет о группах и алгебрах Ли, о представлениях, о появившейся позднее алгебраической топологии и так далее.
Эта история типична. Например, Лев Давидович Ландау, один из лидеров (до 1960-х годов) теоретической физики, прекрасно знал предшествующую математику, умел считать интегралы лучше любого математика, но тоже не знал этих вещей, которые, как оказалось позже, позарез необходимы для физики. Важно помнить о том, что, как говорил фон Нейман, роль математики для приложений в том, что она предлагает модели, а вовсе не их решения. Поэтому и тем, и другим надо тщательно следить за тем, что происходит друг у друга.
Мы видим сейчас, как физики с 1980-х годов просто бросились в математику, и наступил тот альянс, о котором я говорил выше. Теперь, как сказал Эдвард Виттен (Edward Witten), физики стали чуть ли не бóльшими математиками, чем математики. А история с дельта-функциями и пионерской инициативой Дирака — это мелочь. Она лишь иллюстрирует, что физики более раскованны, чем математики.
Анатолий Вершик
Беседовал Михаил Гельфанд
1. Ю. И. Манин: «Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает» // ТрВ-Наука, № 13 от 30 сентября 2008 года.
2. Vershik A. What Is Good for Mathematics? Thoughts on the Clay Millennium Prizes // Notices of the AMS. 2007. V. 54. № 1. P. 45–47.
3. Вершик А. Что полезно математике? / Авторизованный перевод.