Принципу запрета Паули — сто лет

Теперь трудно представить, что принцип запрета, являющийся одним из основных аспектов квантового описания структуры атомов, был введен в физическую теорию до открытия Гейзенбергом и Шрёдингером альтернативных формулировок квантовой механики в 1925 и 1926 годах. Еще одним затруднением было отсутствие понятия о степени свободы электрона, позднее названной спином. Тем не менее к идее принципа запрета замечательный физик-теоретик Вольфганг Паули пришел не позже декабря 1924 года. Об этом свидетельствует его письмо Нильсу Бору, написанное 12 декабря 1924 года, в котором обсуждается эта идея [1]. Примечательно, что этот принцип был сформулирован Паули еще в терминах старой теории квантов Бора, который в 1922 году развил свою модель атома, предположив, что определенное количество электронов (например, 2, 8 и 18) соответствует стабильным «замкнутым оболочкам» в атоме [2]. Письмо было написано Паули в ходе работы над статьей «О связи между заполнением групп электронов в атоме и сложной структурой спектров» [3], в которой и была сформулирована первоначальная форма принципа запрета для электронов в атоме.

В русскоязычной литературе принцип запрета фигурирует также как «принцип исключения», что ближе к соответствующему английскому термину; однако мы следуем двухтомнику Паули «Труды по квантовой теории», изданному в 1975 и 1977 годах.

Упомянутая статья Паули была получена редакцией журнала Zeitschrift für Physik 16 января 1925 года, т. е. на полгода раньше, чем Вернер Гейзенберг отправил (в тот же журнал) свою основополагающую статью о матричной механике «О квантовотеоретической интерпретации кинематических и механических соотношений» [4], которая была получена редакцией 29 июля 1925 года.

В конце своей статьи Паули отмечает: «Успешное решение проблемы более точного обоснования принятого здесь общего правила о поведении эквивалентных электронов в атоме окажется возможным, по всей вероятности, только после дальнейшего углубления основных принципов квантовой теории». Так и произошло; в возникшую в 1925 году и начавшую бурно развиваться квантовую механику принцип запрета органично вписался. В частности, Дирак и Гейзенберг уже в 1926 году показали, что при наличии многих идентичных частиц этот принцип выражается в терминах антисимметрии волновой функции, но об этом ниже. Роль принципа запрета как одного из основных законов природы трудно переоценить, и за этот вклад в науку Паули в 1945 году была присуждена Нобелевская премия по физике; номинировал коллегу Альберт Эйнштейн.

Жизнь и личность Паули

Прежде чем переходить к существу принципа Паули, кратко остановимся на его биографии [5].

Вольфганг Эрнст Паули родился 25 апреля 1900 года в Вене в семье профессора биохимии Вольфганга Йозефа Паули (1869–1955). Его мать Берта Камилла (урожденная Шютц, 1878–1927) была известна в литературных и театральных кругах. Второе имя ребенку дали в честь его крестного отца, физика и философа Эрнста Маха. В 1910–1918 годах Вольфганг учился в венской гимназии Дёблингер, где заслужил репутацию вундеркинда.

Осенью 1918 года Паули поступил в Мюнхенский университет и окончил его уже через три года, защитив диссертацию, написанную под руководством Арнольда Зоммерфельда, следующим учеником которого был Гейзенберг, ставший близким другом Паули. Работая над диссертацией днем, по ночам Паули по просьбе Зоммерфельда писал обзорную статью по теории относительности, в дальнейшем переведенную на несколько языков, в том числе на русский [6], и не утратившую своего значения до наших дней. Работа удостоилась похвалы Эйнштейна.

В 1921/1922 учебном году Паули стажировался в Гёттингене, где написал совместную работу с Максом Борном. 29 ноября 1921 года тот сообщал Эйнштейну: «Сотрудничество с молодым Паули весьма успешно; у меня никогда не будет такого хорошего ассистента» (впрочем, после Паули ассистентом Борна был Гейзенберг). Следующий год Паули провел в институте Нильса Бора в Копенгагене, который многократно посещал впоследствии.

С 1923 по 1928 год Паули работал в Гамбургском университете; четыре года он был приват-доцентом, а потом стал профессором. Эти годы он всегда вспоминал с особой теплотой; здесь он получил свой главный научный результат, о котором ниже. В 1928 году он перебрался в Цюрих, где профессорствовал в Высшей технической школе (ETH) до 1940 года, а затем после окончания войны, вплоть до своей неожиданной смерти от рака в декабре 1958 года. Мрачные в истории Европы годы Паули провел в Принстоне, в Институте перспективных исследований, постоянным сотрудником которого оставался и в дальнейшем, посещая его в 1949, 1953 и 1958 годах.

Паули был дважды женат; его первый брак распался почти сразу, а в 1934 году он женился на Франке Бертран (1901–1987), чьим пониманием очень дорожил. Детей у них не было.

Говоря о Паули, нельзя не упомянуть об острых замечаниях, которыми он был знаменит. Еще в студенческие годы в дискуссии на коллоквиуме он так прокомментировал выступление Эйнштейна: «Вы знаете, сказанное господином Эйнштейном не так уж глупо». Позже, после долгой дискуссии в Цюрихе, Ландау предположил, что не всё сказанное им было полной чепухой. На это Паули ответил: «Вовсе нет. То, что вы сказали, настолько сбивает с толку, что невозможно понять, чепуха это или нет».

Еще одной характерной чертой Паули была его зачарованность числом 137, которое с высокой точностью является обратным для постоянной тонкой структуры, играющей важную роль в квантовой электродинамике. В частности, он придавал большое значение следующему приближенному выражению для этого числа: 4π³ + π² + π.

Философские взгляды Паули претерпели многочисленные изменения на протяжении его жизни [7]. Всё началось со знаменитой книги Эрнста Маха «Механика», которую автор подарил юному крестнику в 1913 году. В ней Паули оставил отметку на полях возле абзаца в пятой главе, где Махом была сформулирована позитивистская программа, которую Паули в целом разделял. Например, в переписке с Морицем Шликом (одним из ведущих философов так называемого Венского кружка) он, исходя из своих личных убеждений, написал, что «позитивизм является логически последовательным мировоззрением, свободным от противоречий», хотя и «не единственно возможным». Однако в 1930-е годы Паули критически отнесся к оценке роли символической логики, распространенной тогда среди позитивистов. В дальнейшем он дистанцировался всё дальше и дальше от своей первоначальной позитивистской установки. В 1949 году Паули обратил внимание на возможность общенаучной трактовки идеи дополнительности, которая первоначально возникла в атомной физике. После прочтения осенью 1954 года книги о мистицизме у него возникла мысль об объединении (в духе боровской дополнительности) рационального восприятия и мистического опыта.

Принцип запрета и история его открытия

Вначале напомним, что согласно модели Бора — Зоммерфельда, из которой исходил Паули, электрон в атоме характеризуется тремя квантовыми числами: n (главное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число). Еще одним квантовым числом является спин, названный так Сэмюэлом Гаудсмитом и Джорджем Уленбеком в ноябре 1925 года. Однако его наличие было еще до этого установлено Паули в работе об аномальном эффекте Зеемана; он охарактеризовал его как «неописываемую классически двузначность квантовотеоретических свойств электрона» (вот такое громоздкое название; см. [3], с. 645). Исходя из наличия этих чисел, свой принцип запрета Паули первоначально сформулировал следующим образом (см. [3], с. 654): «В атоме никогда не может быть двух или нескольких эквивалентных электронов, для которых в сильных (магнитных) полях значения всех (четырех) квантовых чисел совпадают».

Предположение о наличии магнитного поля было снято весной 1925 года в следующей работе Паули (см. [8] — этого текста, по-видимому, нет в русском переводе). В дальнейшем было показано, что принципу Паули подчиняются все фермионы (частицы с «полуцелым спином»), в том числе кварки, электроны и нейтрино, а также субатомные частицы, состоящие из трех кварков (протоны и нейтроны и т. д.).

История открытия принцип запрета подробно изложена самим Паули (см. [9], а также его Нобелевскую лекцию). При этом он подчеркивает важную роль своего знакомства с Нильсом Бором, которое состоялось в 1922 году в Гёттингене, куда тот приехал с лекциями о своих исследованиях структуры атома. После одной из лекций Бор спросил Паули, не мог бы тот помочь с переводом работ, которые Бор хотел издать на немецком. Удивленный Паули ответил с уверенностью, на которую способен только молодой человек: «Я не думаю, что научная сторона вызовет у меня какие-либо затруднения, но освоение датского языка намного превосходит мои возможности». Это вызвало смех Бора и его ассистента Оскара Клейна, присутствовавшего при этом.

Разумеется, Паули отправился в Копенгаген осенью 1922 года, где оба его заявления оказались опровергнуты. Первыми выученными им датскими словами были названия целых чисел, причем его особенно впечатлило, что числа 50, 70 и 90 в датском языке выражаются как половина соответствующего кратного 20. Затруднение же вызвал аномальный эффект Зеемана, для объяснения которого Ланде использовал полуцелые квантовые числа. Этот эффект касается расщепления обычного триплета спектральных линий в магнитном поле. Трудность его объяснения заключается в том, что как из классической, так и из квантовой теории Бора — Зоммерфельда получается только обычный триплет, и это казалось Паули необъяснимым. Коллеге, встретившему его на улице и спросившему, почему он выглядит так грустно, Паули резко ответил: «Как человек, думающий об аномальном эффекте Зеемана, может выглядеть иначе?» В результате своих размышлений Паули сначала получил приемлемое объяснение этого эффекта лишь для случая атома, находящегося в очень сильном магнитном поле, но эта его работа «О закономерностях аномального эффекта Зеемана» [10] 1923 года оказалась решающей для формулировки принципа запрета. В заметке [9] для журнала Science Паули дал следующее образное описание этого принципа: «Если представлять невырожденные состояния электрона в атоме в виде коробок, то согласно принципу запрета каждая коробка может содержать не более одного электрона. Таким образом, это делает атомы намного больше, чем если бы много электронов могли умещаться на самой внутренней оболочке. Согласно квантовой теории такие частицы, как фотон, имеют другое поведение, а именно: в одной коробке может содержаться любое их количество».

После введения спина Гаудсмитом и Уленбеком принцип Паули был тесно увязан с этим квантовым числом, хотя он сам не был склонен признавать истолкование спина как механического момента количества движения электрона. Об этом свидетельствует его осторожный термин «неописываемая классически двузначность». Эти сомнения получили подтверждение, когда Бор с помощью волновой механики показал невозможность измерения спина в опытах, описываемых классическим образом (например, путем отклонения молекулярного пучка в магнитном поле). Таким образом, спин является принципиально квантовым свойством электрона.

Дальнейшее осмысление принципа Паули и его приложения

Как было сказано выше, уже в 1926 году Дирак [11] (и независимо Гейзенберг [12]) применили только что созданную квантовую механику к многочастичным системам. В этих работах принцип запрета Паули, согласно которому два электрона в атоме не могут находиться в одном квантовом состоянии, был интерпретирован как антисимметричность волновой функции для системы электронов. В своей статье Гейзенберг говорит также о спиновых координатах, но не формулирует четко, что он под этим понимает. В 1927 году ясность в этот вопрос внес Паули [13], который определил три спиновые матрицы 2×2. Эти эрмитовы матрицы вместе с единичной матрицей образуют базис в пространстве таких матриц. Они входят в уравнение Паули, которое является версией уравнения Шрёдингера, учитывающей взаимодействие спина частицы, равного 1/2, с внешним электромагнитным полем. Решениями этого уравнения служат двухкомпонентные волновые функции. Далее оказалось, что уравнение Паули представляет собой нерелятивистский предел уравнения Дирака (последнее было выведено в 1928 году, и из него вытекает существование позитрона), т. е. служит для описания частиц, движущихся со скоростями, намного меньшими скорости света.

Работа Дирака явилась фундаментом для теории белых карликов, разработанной Фаулером в том же 1926 году [14]. В ней этот вид звезд рассматривался как «атом», в котором имеется порядка 10⁵⁷ электронов, и на основе принципа запрета было объяснено, что препятствует коллапсу этих сверхплотных объектов под действием гравитации. Таким образом, первое применение принцип запрета получил в астрофизике. Тогда же Ферми обобщил этот принцип, применив его к молекулам газа, а затем этим же подходом воспользовался Паули при изучении поведения электронов в металле, что позволило ему объяснить парамагнетизм [15].

Когда Паули опубликовал свои работы о принципе запрета, были известны лишь две частицы — электрон и протон, — обе со спином 1/2 и подчиняющиеся статистике Ферми — Дирака (такие частицы называют «фермионы»), а также фотон со спином 1. В 1930-е годы к ним добавились позитрон, нейтрон и мюоны, и были предсказаны нейтрино (самим Паули, исходя из принципа сохранения энергии, спина и статистики в бета-распаде), а также пионы, которые, как и фотоны, подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна (являются бозонами), но их спин равен нулю. Эмпирически было установлено, что атомные ядра бывают как бозонами, так и фермионами. Всё это положило начало теории элементарных частиц; первым вкладом Паули в нее стали две работы 1939 года о волновых уравнениях для частиц со спином, отличным от 0 и 1/2. Они послужили промежуточным шагом к выяснению важных свойств релятивистских (это требование было впоследствии снято) волновых полей и пониманию общих свойств спина в работе 1940 года «Связь между спином и статистикой» [16]. Паули установил эту связь путем длинных и сложных выкладок, исключая наличие невозможных связей. С одной стороны, он показал, что непротиворечивое квантование системы частиц с целым спином невозможно в рамках статистики Ферми — Дирака, с другой — аналогично невозможно квантование системы частиц с полуцелым спином в рамках статистики Бозе — Эйнштейна. Вот как это сформулировано в аннотации к статье [16]: «В настоящей работе мы заключаем для релятивистски-инвариантного волнового уравнения свободных частиц: из постулата (I), согласно которому энергия должна быть положительной, — необходимость статистики Ферми — Дирака для частиц с произвольным полуцелым спином; из постулата (II), согласно которому наблюдаемые в разных пространственно-временных точках, разделенных пространственно-подобным интервалом, коммутативны, — необходимость статистики Бозе — Эйнштейна для частиц с произвольным целым спином. Найдено полезным разделить величины, неприводимые относительно преобразований Лоренца, на четыре класса симметрии, которые соответствуют коммутативному умножению типа +1, —1, + ε, —ε, где ε² = 1».

Стоит также указать, что, суммируя результаты на последней странице этой статьи, Паули троекратно использует принцип запрета. К вопросу о связи спина и статистики он еще раз вернулся спустя десять лет в работе «О связи между спином и статистикой» [17] в связи со статьей Ричарда Фейнмана «Теория позитронов» [18]; это первая из трех его публикаций, где изложен подход к квантовой электродинамике, использующий диаграммы. В ней для той же цели, что и в работе Паули, используется не квантование поля, а более интуитивные методы. Надо упомянуть, что Фейнман многократно использовал принцип Паули. Так, в своей последней опубликованной лекции [19] он наглядно объясняет, как этот принцип обеспечивает самосогласованность квантовой электродинамики.

Последний раз Паули обратился к своему принципу в работе 1955 года «Принцип запрета, группа Лоренца, отражение пространства-времени и заряда» [20], посвященной Нильсу Бору по случаю его 70-летия. Лучше всего ее содержание иллюстрирует следующая цитата из некролога Паули [21], написанного Ландау в 1959 году: «Последним достижением Паули является весьма любопытная теорема Людерса — Паули, сущность которой состоит в том, что в силу некоторых чисто формальных свойств преобразования полей все уравнения должны оставаться инвариантными при одновременном изменении знака всех пространственных координат, изменении знака времени и замене всех частиц на античастицы. Эта теорема приобрела особое значение совсем недавно, когда после открытия несохранения четности в слабых взаимодействиях выяснилось, что в природе не имеет места инвариантность по отношению к каждому из этих преобразований в отдельности».

Стоит напомнить, что несохранение четности было теоретически предсказано в 1956 году и экспериментально обнаружено в 1957 году, т. е. уже после публикации статьи Паули.

Новые приложения принципа запрета Паули в различных разделах физики были найдены уже после его смерти. Обнаруженные в 1967 году пульсары — нейтронные звезды, вращающиеся с частотой несколько сот раз в секунду, — наряду с белыми карликами представляют еще один пример из астрофизики, демонстрирующий роль принципа запрета. Благодаря ему нейтроны, из которых состоит звезда, способны создавать давление вырождения более высокое, чем в белых карликах; оно и удерживает эти звезды от дальнейшего гравитационного коллапса.

Тогда же, в конце 1960-х, Фримен Дайсон и Эндрю Ленард рассчитали баланс сил притяжения и отталкивания в обычной материи; он показал, что именно принцип Паули обеспечивает ее устойчивость. Более того, многие механические, электрические, магнитные, оптические и химические свойства твердых тел являются следствием этого принципа. Наконец, многие десятилетия значительное внимание уделяется вопросу об экспериментальной проверке возможных нарушений принципа Паули [22].

Обобщенный принцип Паули

Деятельность в этом направлении началась еще в середине 1950-х годов, когда Лёвдин и Шелл, специалисты в области квантовой химии, исследовали двухэлектронные волновые функции [23]. Для этого они использовали так называемые спин-орбитали, которые диагонализируют приведенную матрицу плотности ρ, описывающую систему электронов; ее собственные числа λi ≥ 0 интерпретировались как числа заполнения. В случае N фермионов этот круг вопросов связан с так называемой задачей об N-представимости (см. [24], с. F961). Обычно числа заполнения нумеруют в порядке убывания с учетом кратности, след матрицы ρ принято считать равным числу фермионов N, а ее ранг R определяется количеством спин-орбиталей, используемых для ее построения. В этих терминах принцип запрета Паули записывается в виде неравенства λ₁ ≤ 1. Тем самым его обобщение состоит в отыскании какого-либо большего набора соотношений, описывающих ограничения на совокупность чисел заполнения.

Первый шаг был сделан в 1972 году, когда Борланд и Деннис рассмотрели систему трех фермионов, для которой они учитывали шесть возможных состояний. В этой ситуации был получен следующий набор ограничений:

λ₁ + λ₆ = λ₂ + λ₅ = λ₃ + λ₄ = 1,
λ₅ + λ₆ – λ₄ ≥ 0.

Они были найдены путем численного эксперимента в комбинации с аналитическими выкладками; тогда же Мэри Бет Рускай получила для них полное аналитическое доказательство, но оно было опубликовано только в 2007 году [24].

На отыскание алгоритма, позволяющего найти ограничения на числа заполнения при всех N > 0 и для любых R, включая R = ∞, потребовалось более тридцати лет. Он был найден Александром Клячко из Билкентского университета в Анкаре (см. [25], с. 81 и далее). В частности, для системы трех фермионов при произвольном R < ∞ им получен следующий набор ограничений:

λ_k+1 + λ_R – k ≤ 1,
0 ≤ k < R,
λ₂ + λ₃ + λ₄ + λ₅ ≤ 2,
λ₁ + λ₃ + λ₄ + λ₆ ≤ 2,
λ₁ + λ₂ + λ₅ + λ₆ ≤ 2,
λ₁ + λ₂ + λ₄ + λ₇ ≤ 2,
λ₁ + λ₂ + λ₄ + λ₇ + λ₁₁+ λ₁₆ + … ≤ 2.

Ясно, что из последнего неравенства (в нем разности между двумя последовательными индексами равны 1, 2, 3, 4, …) вытекает предпоследнее, но оно включено потому, что четыре неравенства в средних строках представляют полный набор ограничений для R = 7. При R = 6 из этих неравенств вытекают соотношения Борланда и Денниса. Количество ограничений быстро возрастает с ростом N и R: так, для N = 4 и R = 8 их 14 (см. [25], с. 85), а для N = 4 и 5 при R = 10 их уже 125 и 161 соответственно (см. [26], с. 2). В препринте [26] обсуждаются также некоторые физические следствия обобщенного принципа Паули.

После того, как этот обобщенный принцип был установлен, встал вопрос, насколько значимы полученные дополнительные ограничения с физической точки зрения, т. е. играют ли они какую-либо роль в реальных задачах? Другим важным аспектом является следующий: оказывают ли эти ограничения влияние на структуру волновых функций? В 2013 году была опубликована заметка, в которой подверглись рассмотрению оба эти пункта, и в обоих случаях был дан положительный ответ [27]. В ней изучалась простая физическая модель: некоторое количество фермионов, взаимодействующих между собой, движутся в потенциальном поле. Вычисление чисел заполнения в этой ситуации показало, что они всегда находятся почти, но никогда точно, на границе разрешенной области. По мнению авторов заметки, это указывает на то, что обобщенные Паули-ограничения реально являются физическими. Что касается второго аспекта, то в заметке обсуждается модификация метода Хартри — Фока, основанная на использовании этих ограничений.

Николай Кузнецов, докт. физ.-мат. наук,
гл. науч. сотр. Института проблем машиноведения РАН

1. Pauli W. Wissenschaftlicher Briefwechsel mit Bohr, Einstein, Heisenberg u. a. Band I: 1919–1929. Herausgegeben von A. Hermann, K. v. Meyenn und V. F. Weisskopf. Springer-Verlag, New York/Heidelberg/Berlin, 1979.

2. Бор Н. Строение атомов и физико-химические свойства элементов. // УФН 3 (1923), 214–233.

3. Паули В. Труды по квантовой теории: Квантовая теория. Общие принципы волновой механики. Статьи 1920–1928. — М.: Наука, 1975. 645–660.

4. Гейзенберг В. Избранные труды. — М.: Эдиториал УРСС, 2001. 86–99.

5. Peierls R. Wolfgang Ernst Pauli, 1900–1958. Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society 6 (1960), 175–192.

6. Паули В. Теория относительности. — М.: Наука, 1983 (включен перевод примечаний к английскому изданию).

7. Karl von Meyenn. Wolfgang Pauli’s philosophical ideas viewed from the perspective of his correspondence. In: Recasting Reality, Wolfgang Pauli’s Philosophical Ideas and Contemporary Science. Harald Atmanspacher and Hans Primas (eds.). Berlin/Heidelberg, 2009, pp. 11–32.

8. Pauli W. Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren. Zeitschrift für Physik 31 (1925), 765–783.

9. Pauli W. Remarks on the history of the exclusion principle. Science 103 (1946), 213–215.

10. Паули В. Труды по квантовой теории: Квантовая теория. Общие принципы волновой механики. Статьи 1920–1928. — М.: Наука, 1975. 611–620.

11. Dirac P. On the theory of quantum mechanics. Proceedings of the Royal Society of London A 112 (1926),
661–677.

12. Heisenberg W. Mehrkörperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik. Zeitschrift für Physik 38 (1926),
411–426.

13. Pauli W. Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, Zeitschrift für Physik 43 (1927), 601–623.

14. Fowler R. H. Dense Matter. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 87 (1926), 114–122.

15. Pauli W. Über Gasentartung und Paramagnetismus. Zeitschrift für Physik 41 (1927), 81–102.

16. Паули В. Труды по квантовой теории. Статьи 1928–1958. — М.: Наука, 1977. 354–366.

17. Паули В. Труды по квантовой теории. Статьи 1928–1958. — М.: Наука, 1977. 602–619.

18. Фейнман Р. Теория позитронов. // Новейшее развитие квантовой электродинамики. — М.: ИЛ, 1954.

19. Фейнман Р. Почему существуют античастицы. // УФН 157 (1989),
163–183.

20. Паули В. Труды по квантовой теории. Статьи 1928–1958. — М.: Наука, 1977. 634–655.

21. Ландау Л. Вольфганг Паули. //
УФН 68 (1959), 557–559.

22. Окунь Л. Б. О проверке закона сохранения электрического заряда и принципа Паули. // УФН 158 (1989), 293–301.

23. Per-Olov Löwdin and Harrison Shull. Natural orbitals in the quantum theory of two-electron systems. Physical Review 101 (1956), 1730–1739.

24. Mary Beth Ruskai. Connecting N-representability to Weyl’s problem: the one-particle density matrix for N = 3 and R = 6. Journal of Physics A 40 (2007), F961–F967.

25. Klyachko A. Quantum marginal problem and N-representability. Journal of Physics: Conference Series 36 (2006), 72–86.

26. Klyachko A. The Pauli exclusion principle and beyond. Preprint arXiv:0904.2009v1

27. Schilling C., Gross D. and Christandl M. Pinning of fermionic occupation numbers. Physical Review Letters 110 (2013), 040404, 5 p.