Теория Янга — Миллса и вторая геометризация физики

В статье, приуроченной к 70-летнему юбилею теории Янга — Миллса, историк науки Алексей Левин рассказывает об одном из крупнейших достижений фундаментальной физики XX столетия и его взаимосвязи с математикой.

1 октября 1954 года Янг Чжэньнин, сотрудник принстонского Института фундаментальных исследований, и Роберт Лоуренс Миллс, постдок Колумбийского университета, опубликовали в журнале Physical Review статью “Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance”. Она содержала результаты теоретического исследования, которое ее авторы совместно выполнили во время временной работы в Брукхейвенской национальной лаборатории.

Представленная в публикации (и позднее названная их именами) теоретическая конструкция дала начало мощному интеллектуальному движению, которое в течение двух последующих десятилетий привело к появлению целого ряда так называемых калибровочных теорий фундаментальных взаимодействий. Они легли в основу нового понимания природы материи, выраженного в Стандартной модели элементарных частиц. (Создание калибровочных теорий довольно подробно описано в 7-й, 8-й, 9-й и 13-й главах моей книги «Этюды о частицах»¹; позволю себе отослать к ней тех, кому это интересно.)

Огромное влияние теории Янга — Миллса на развитие физики давно общепризнано и не требует новых подтверждений. Однако куда менее известно, что их работа также сослужила хорошую службу одной из самых динамичных областей математики второй половины XX столетия. Идеи Янга и Миллса со временем были конструктивно переосмыслены математиками, работавшими на стыке дифференциальной геометрии, алгебры и топологии. В рамках этих исследований еще в 1930-е годы была создана теория расслоенных пространств, окончательно отшлифованная уже после Второй мировой войны. Как оказалось, и оригинальная модель Янга — Миллса, и ее последующие версии в виде более продвинутых калибровочных теорий допускают естественное описание на языке теории расслоений. Этот акт физико-математической синергетики был настолько неожиданным, что сначала выглядел как нечто вроде deus ex machina. Он и привел к тому преобразованию фундаментальной физики, которое я назвал второй геометризацией. Вот о ней я и хотел бы рассказать на общепонятном языке (то есть без формул) в связи с 70-летним юбилеем теории Янга — Миллса.

Загадка Фримена Дайсона

Однако начну я с довольно загадочной фразы одного из создателей квантовой электродинамики Фримена Дайсона, которая при первом чтении меня немало удивила. Она взята из его выступления 29 апреля 1965 года на весенней сессии Американского физического общества, текст которого под названием “Old and New Fashions in Field Theory” в июне опубликовал журнал Physics Today. В начале своей речи Дайсон отдал должное общей теории относительности, которая, по его словам, «осуществила представление физической реальности как геометрической по своей природе» (речь, конечно, идет о гравитации). Затем он напомнил о появлении в 1925 году квантовой механики, которая стала основой всех будущих «теорий материи и электромагнетизма», но при этом не имела ничего общего с эйнштейновской теорией тяготения. Наконец, подводя итог полувекового развития физики между 1915 и 1965 годами, он резюмировал с явной ноткой ностальгии: «Всё еще остается загадкой, почему геометрический анализ, который привел к такому глубокому пониманию гравитации, не имел никакого успеха в других областях физики».

Как интерпретировать столь суровый вердикт? Дайсон мог иметь в виду очень интересные, но неудачные попытки Германа Вейля, Вольфганга Паули и еще нескольких ученых, которые после Первой мировой войны пытались построить единую геометрическую теорию тяготения и классической (то есть доквантовой) электродинамики, вводя в свои модели дополнительное, пятое по счету измерение. Однако к середине 1960-х годов эти усилия стали далекой историей и уже мало кого интересовали. К слову, тогдашние исследования в области квантовой гравитации (а им отдали дань такие титаны физики, как Ричард Фейнман и Стивен Вайнберг) предпринимались вне геометрического контекста. Так что эйнштейновская, она же первая, геометризация фундаментальной физики вроде бы полностью отступила перед квантовым барьером.

Но так ли это? В 1965 году уже существовала теория кварков, созданная годом ранее Марри Гелл-Манном и Джорджем Цвейгом (ее история во всех деталях изложена в 6-й главе моей книги). Ее математическая основа — это теория непрерывных групп, также известных как группы Ли. По определению, непрерывная группа — это гладкое многообразие, на котором заданы групповые операции. Таким образом, это математическая конструкция, лежащая на стыке алгебры (групповая структура) и геометрии (гладкое многообразие, допускающее внутри себя операции дифференцирования).

Гелл-Манн и Цвейг работали с одним конкретным семейством групп Ли, а именно с совокупностями унитарных квадратных матриц порядка 3×3, имеющими единичный детерминант (это так называемая группа SU(3)). Правда, в своих вычислениях они в основном использовали не сами групповые элементы, а их генераторы, т. е. объекты, которые порождают эти элементы при экспоненциальных отображениях. В таких операциях алгебраическая ипостась непрерывных групп стоит на первом месте (кстати, совокупность генераторов непрерывной группы и называется ее алгеброй), но ведь и геометрическая никуда не уходит. Так почему же Дайсон не заметил совсем недавнего проникновения геометрии в теорию элементарных частиц?

О причинах этакого недосмотра можно долго гадать, но я хочу предложить гипотезу, которая мне кажется достаточно правдоподобной. Математический аппарат ОТО удалось построить на основе определенной версии теории дифференцируемых многообразий, которую принято называть римановой геометрией. Исторически она восходит к работе гениального немецкого математика Бернхарда Римана, написанной в 1854 году, но опубликованной только в 1868-м, через два года после его смерти. Идеи Римана в 1860–1870-е годы подхватили и развили такие замечательные математики, как Эудженио Бельтрами, Элвин Бруно Кристоффель и Рудольф Липшиц. На рубеже XIX и XX столетий большой вклад в развитие римановой геометрии внесли Фридрих Шур и два замечательных итальянских геометра, Грегорио Риччи-Курбастро и его ученик Туллио Леви-Чивита. Они разработали мощный математический аппарат, получивший название тензорного анализа, или тензорного исчисления. Именно его и использовал Альберт Эйнштейн — по совету своего цюрихского друга, математика Марселя Гроссмана.

С помощью тензорного анализа Эйнштейн смог точно выразить на языке математики суть своего главного физического прозрения (или, лучше сказать, озарения). По мысли великого физика, гравитационное поле — это проявление искривления пространственно-временного континуума. Можно выразиться и сильнее: поле тяготения и искривленное пространство-время — по сути дела, одно и то же. В этом утверждении и состоит физический смысл ОТО. Всё остальное — дело математики и вычислительной техники.

При чем же здесь суждение Дайсона? В римановом пространстве любого числа измерений можно задать метрический тензор, или просто метрику, — функцию пространственно-временных координат, которая определяет квадрат расстояния между бесконечно близкими точками. Строго говоря, метрика задается не на самом многообразии, а на его касательных векторных пространствах. В классической римановой геометрии эта функция всегда принимает только положительные либо нулевые значения. Эйнштейн строил свою геометрию как обобщение плоского пространства Минковского, чья метрика может приводить и к отрицательным величинам. Такую метрику называют псевдоевклидовой; по аналогии, метрика Эйнштейна, для которой положительноть тоже не гарантирована, называется псевдоримановой. Она позволяет вычислить тензор кривизны пространства-времени, который определяет степень его отличия от плоского пространства Минковского. На основе тензора кривизны строится так называемый тензор Риччи, который на правах отдельного слагаемого входит в левую часть эйнштейновских уравнений гравитационного поля (другими слагаемыми служат метрический тензор, умноженный на взятую с обратным знаком половину скалярной кривизны пространства-времени, и тот же самый тензор, умноженный на космологическую постоянную). В правой части уравнения располагается носитель информации о плотности материи и энергии — тензор энергии-импульса.

Почему я пишу об этом так подробно? Дело в том, что метрика — это основа основ псевдоевклидова пространства общей теории относительности. Она позволяет вычислить и параметры его кривизны, и так называемые числа Кристоффеля, которые позволят производить в этом пространстве паралельный перенос векторов и тензоров. На основе этого переноса, в свою очередь, определяются операции взятия производных (то есть дифференцирования), которые и позволяют записывать физические принципы ОТО на языке дифференциальных уравнений. Это так называемые ковариантные производные, которые использовались еще Кристоффелем и Липшицем, но получили свое название в трудах Риччи и Леви-Чивиты. Задание метрического тензора позволяет также определять и проводить операции интегрирования, которые изначально опять-таки применялись только в евклидовом пространстве. В общем, метрика эйнштейновской геометрии — это буквально ее альфа и омега!

Всё это Дайсон, разумеется, прекрасно знал. Но он знал и то, что математический аппарат теории квантовых полей и частиц вовсе не включал никаких метрических пространств (конечно, за исключением пространства Минковского). Поэтому его заключение о бесполезности первой геометризации фундаментальной физики для описания мира квантов выглядит вполне логично.

Однако для геометризации квантовой физики можно обойтись и без метрических многообразий. Такую возможность как раз и предоставляет теория расслоенных пространств, о которой я в меру своих сил постараюсь рассказать.

Математическая интродукция

Чтобы облегчить задачу, ненадолго вернусь к римановским мирам. Пусть имеем n-мерное пространство Римана с заданной на нем метрикой. В каждой его точке можно построить касательное пространство, которое будет линейным (другими словами, плоским) векторным пространством, причем тоже n-мерным. Элементарный пример — двумерная сфера в нашем трехмерном мире и двумерные же плоскости как ее касательные поверхности.

Пойдем дальше. Все эти плоскости, равно как и касательные пространства на многообразии с любым числом измерений, будут совершенно одинаковыми (на математическом языке — изоморфными). Однако одного этого факта еще недостаточно для установления соответствий между их векторами даже в том случае, если касательные пространства опираются на бесконечно близкие точки исходного многообразия. Чтобы получать такие соответствия, надо иметь возможность производить взаимно-однозначные линейные преобразования между координатными системами того и другого пространства. Для этого нужна дополнительная информация, которая позволила бы связывать друг с другом хотя бы бесконечно близкие касательные пространства. В римановых многообразиях такие связности обеспечивают операции параллельного переноса, которые, как уже говорилось, осуществляются с помощью символов Кристоффеля и ковариантных производных.

А как быть, если мы имеем дело с гладкими многообразиями, которые не поддаются метризации? Можно ли в них ввести такие понятия, как связность, параллельный перенос и кривизна, выполнять операции дифференцирования и интегрирования и вообще выжимать из них такие же богатства полезной информации, что и из римановых многообразий?

Оказывается, такая программа вполне осуществима — хотя и с разницей в деталях. Эти задачи как раз и решаются на базе теории расслоенных пространств, по-английски the theory of fiber bundles. Ее основная концепция, в принципе, очень проста. Возьмем гладкое многообразие М и «пришпилим» к каждой его точке некоторый массив дополнительной информации, закодированной в тех или иных математических структурах. Этот массив принято называть слоем (fiber) над данной точкой, а само многообразие М — базой. Объединение базы и всех ее слоев — это и есть расслоенное пространство. Это самостоятельный геометричский объект, который обычно обозначают буквой E. Его размерность равна сумме размерностей базы и любого слоя (в предположении, что слои обладают одинаковой размерностью). Чтобы такая конструкция работала, необходимо еще задать операцию проекции, которая отображает каждую точку слоя в ту точку базы, к которой этой слой «пришпилен». При этом точки одного слоя связаны друг с другом общностью своей «прописки», а вот точки разных слоев сами по себе никакого отношения друг к другу не имеют. Однако эти взаимные отношения можно установить, задавая определенные математические структуры, которые и называются связностями (connections). Например, в расслоенных пространствах с римановыми базами связность определяется правилами параллельного переноса векторов, о котором уже говорилось (напомню, что речь идет о движении вектора вдоль кривой без изменения его направления). Связность этого рода называется аффинной.

Для неметрических баз связность обычно (хотя и не исключительно) задается полностью антисимметричными тензорами специального вида, так называемыми дифференциальными формами, которые в этом случае называются формами связности. С их помощью определяется и тензор кривизны расслоенного пространства. Прошу читателей поверить, что это очень красивая математика.

Недавно у нас шла речь о многообразии (кстати, оно не обязано быть римановым, как в вышеприведенном примере) и его касательных пространствах. Их объединение — это тоже пример расслоенного пространства. Такие пространства, которые обычно обозначают TM, называются касательными расслоениями, или касательными пучками. Легко видеть, что если размерность многообразия М равна n, то размерность расслоения TM составляет 2n.

Данное выше определение расслоенного пространства — только частичное. Полная дефиниция (до которой, кстати, математики додумались отнюдь не сразу) включает задание так называемой структурной группы, определяющей допустимые гладкие преобразования (гомеоморфизмы) каждого слоя на самого себя, и содержащая еще некоторые условия, которых я не буду касаться. В общем, расслоенные пространства — это интереснейшие математические объекты с богатыми внутренними структурами. Именно в этом качестве они оказались очень полезными для многих областей физики, включая и физику квантовых полей и частиц.

Но отнюдь не только для нее. Возможно, читателей удивит, что они фактически имели дело с расслоенными пространствами, изучая в школе ньютоновскую механику. В физике Аристотеля пространство и время абсолютны, и между ними нет никаких связей. Однако в физике Галилея — Ньютона абсолютно только время, единое для всей Вселенной. В то же время координаты движущейся частицы (если взять в качестве примера этот простейший случай) в любой момент зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Поэтому они меняются при переходах между такими системами в соответствии со всем известными преобразованиями Галилея.

Так что здесь мы имеем дело с расслоенным пространством, хотя и очень простым. Его базой служит время Т, а слоями являются совокупности всех событий, происходящих во Вселенной в определенный момент времени t. Геометрическое вместилище каждого слоя изоморфно трехмерному евклидову пространству R₃, которое называется типичным слоем. Поэтому расслоенное пространство Е в данном случае может быть представлено как прямое произведение базы Т на типичный слой R₃. Такие расслоения называются тривиальными, или глобально тривиальными. Но это, как говаривал один из моих профессоров математики на физфаке МГУ, только жалкий частный случай. В общем случае на типичный слой могут умножаться лишь достаточно малые области базы, так что произвольное расслоение лишь локально тривиально.

Вейлевская прелюдия

Теперь можно перейти к теории Янга — Миллса, но не сразу, а постепенно. Как уже говорилось, Янг и Миллс ее обдумали и сформулировали во время совместной работы в Брукхейвенской национальной лаборатории в 1953–1954 годах. В истории физики микромира это было очень интересное время. Экспериментаторы открывали всё новые и новые частицы, изобилие которых никак не удавалось объяснить. В поисках перспективных идей Янг и Миллс решили опробовать очень интересную симметрию, которую замечательный немецкий математик Герман Вейль в 1929 году использовал для модификации волновых функций, описывающих частицы со спином (так называемые спиноры). К тому времени Поль Дирак уже предложил свое знаменитое релятивистское уравнение свободного электрона, содержащее четырехкомпонентные спиноры. Однако из этого уравнения вытекало существование частиц с отрицательной энергией, которые Вейль не мог понять и принять. Поэтому он предпочел работать с двухкомпонентными спинорами, которые пятью годами ранее изобрел Вольфганг Паули для описания спина нерелятивистских электронов. Эта техника сейчас выглядит несколько архаично, и поэтому я расскажу то, что хочу рассказать, на примере уравнения Дирака, как принято в современных учебниках. А трудность с отрицательной энергией была устранена в 1931 году благодаря открытию позитрона.

Итак, сначала о калибровочной симметрии. Ее первую версию Вейль изобрел еще в 1918 году, рассчитывая на этой основе объединить эйнштейновскую теорию гравитации с классическим электромагнетизмом. Эта попытка не удалась, однако придуманное Вейлем название сохранилось — калибровочная симметрия. При работе с уравнением Дирака она проявляется в том, что фазу спинорной волновой функции электрона (которая, к слову, представляет из себя оператор, описывающий рождение и уничтожение частиц) можно непрерывно менять в любой точке пространства-времени. Для этого ее надо умножить на e^ia(x), где e — это основание натуральных логарифмов, i — мнимая единица, и a(x) — гладкая вещественная функция пространственно-временных координат. С геометрической точки зрения эти множители представляют из себя повороты на произвольные углы вокруг фиксированной оси, иначе говоря, вращения плоской окружности.

В математическом плане такие фазовые повороты описываются очень простой абелевой (то есть коммутативной) непрерывной группой, известной как U(1). Они приводят к тому, что в уравнении Дирака появляются добавки, которые необходимо скомпенсировать, чтобы оно сохранило свою форму неизменной. Для этого в него вводится векторное квантовое поле, взаимодействующее с электроном. Формально это делается посредством усложнения операций дифференцирования, при котором к обычным производным добавляются слагаемые, пропорциональные потенциалам этого поля. Если использовать модифицированные производные и связать надлежащим образом эти потенциалы с функцией a(x), уравнение Дирака для свободного электрона сохранит свой вид при калибровочном преобразовании (поэтому такие производные, как и производные в теории римановых пространств, называются ковариантными).

И в двухкомпонентной модели Вейля, и в «дираковской» интерпретации рожденное калибровочными преобразованиями поле интерпретируется как электромагнетизм. Чтобы такая интерпретация стала законной, к лагранжиану, из которого следует уравнение Дирака, надо добавить новый член, совпадающий с классическим лагранжианом электромагнитного поля, из которого получаются уравнения Максвелла. Такая добавка дает возможность интерпретировать кванты векторного поля как давно известные фотоны. В пользу этого вывода говорит и то, что калибровочная симметрия предписывает этим квантам иметь нулевую массу покоя — как у фотонов.

Получается, что локальная калибровочная симметрия, задаваемая группой U(1), в полном смысле слова предписывает электрону взаимодействовать с электромагнитным полем. Любой фазовый сдвиг становится актом такого взаимодействия — например, испусканием или поглощением фотона.

Этот пример служит хорошей иллюстрацией главной особенности калибровочных теорий. В самом общем плане это название закреплено за теориями, чьи физические предсказания инвариантны относительно той или иной группы преобразований, фигурирующих в теории величин, например волновых функций. Очень важно, что эта инвариантность — не просто формальное свойство задействованных в этих теориях математических структур. Она работает как динамический принцип, позволяюший предсказывать реальные (то есть наблюдаемые) физические эффекты. Так, из статьи Вейля следует, что из требования локальной фазовой инвариантности уравнения Дирака вытекает существование электромагнитного поля.

Но при чем здесь теория расслоенных пространств? Дело в том, что с точки зрения дифференциальной геометрии в этом примере мы имеем дело с расслоением, которое имеет пространство Минковского в качестве базы, а группу U(1) — в качестве типичного слоя. Связность в этом случае задается дифференциальной формой первого порядка, или один-формой. Если обозначить компоненты 4-вектора потенциалов электромагнитного поля как A₀, A₁, A₂, A₃, то эта форма будет выглядеть так:

A₀dt + A₁dx + A₂dy + A₃dz

(dt — дифференциал временной переменной, а dx, dy и dz — дифференциалы пространственных координат).

Дифференцируя эту форму, получим тензор Фарадея, из которого путем несложных преобразований выводятся уравнения Максвелла. Нужно только иметь в виду, что речь идет не об обычном, а о так называемом внешнем дифференцировании, которое осуществляется по специальным правилам. С геометрической точки зрения тензор Фарадея можно рассматривать как кривизну U(1)-расслоения. Как видим, понятия связности и кривизны можно с успехом вводить и использовать и при отсутствии метрики.

В 1930-е годы работа Вейля не вызвала массового интереса физиков. Возможно, дело было в том, что Дирак и сам смог «поженить» свое исходное уравнение свободного электрона с электромагнетизмом, причем сделал это без всякой калибровочной симметрии. Однако ее понял и высоко оценил Вольфганг Паули, который подробно рассказал о ней в двух обзорах, опубликованных в 1933 и 1941 годах. В конце 1940-х годов с ними ознакомился Янг, который был тогда аспирантом сначала в Китае, а потом в Чикаго. Вместе с Робертом Миллсом он в 1953 году начал работать над применением идей Вейля для конструирования уравнений, описывающих частицы иной природы, нежели электрон. Результатом этих усилий и стала статья в Physical Review, о которой говорилось в начале.

Расцвет неабелевых теорий

Янг и Миллс занялись двумя «старейшими» барионами, протоном и нейтроном. Хоть эти частицы и не тождественны, но по отношению к ядерным силам они ведут себя одинаково и имеют почти одинаковую массу. В 1932 году Вернер Гейзенберг показал, что с «внутриядерной» точки зрения протон и нейтрон можно считать различными состояниями одной и той же частицы. Для их описания он ввел новое квантовое число, которое формально было полным аналогом электронного спина, но, конечно, не имело отношения в квантованному моменту импульса частицы. Пятью годами позднее Юджин Вигнер назвал это число изотопическим спином. Правда, аналогия с химическими изотопами была явно неудачной, точнее было бы говорить об изобарическом спине, но вариант Вигнера стал общепринятым. Поскольку сильное взаимодействие не делает различий между протонами и нейтронами, оно сохраняет полный изотопический спин — подобно тому, как электромагнитное взаимодействие сохраняет электрический заряд.

Янг и Миллс задались вопросом, какие локальные калибровочные преобразования сохраняют изоспиновую симметрию. Было ясно, что они не могут совпадать с калибровочными преобразованиями квантовой электродинамики — хотя бы потому, что речь шла уже о двух частицах, а не об одном только электроне. Поскольку для вычислений с обычными двухкомпонентными спинорами уже давно применялись генераторы группы SU(2), известные как матрицы Паули, на их основе Янг и Миллс построили свои калибровочные преобразования. Такие преобразования сложнее вейлевских, поскольку элементы группы SU(2), равно как и их генераторы, не коммутируют друг с другом (группы с некоммутирующими элементами называются неабелевыми). Пересказать их на словах я не берусь.

Янг и Миллс проанализировали свойства своих калибровочных преобразований и выяснили, что они тоже порождают силовые поля, чьи кванты предположительно переносят взаимодействия между протонами и нейтронами. Квантов в данном случае было три: два заряженных (положительно и отрицательно) и один нейтральный. Они имели нулевую массу и единичный спин — то есть, согласно стандартной терминологии, были безмассовыми векторными бозонами. Как и положено безмассовым частицам, они должны были перемещаться со скоростью света. В общем, если не учитывать электрических зарядов, это были аналоги фотонов.

Теория B-полей, как их окрестили соавторы, была очень красивой, но не выдерживала проверку опытом. Нейтральный B-бозон еще можно было попробовать отождествить с фотоном, но его заряженные собратья явно оставались не при деле. Согласно квантовой механике, посредниками в переносе короткодействующих сил могут быть лишь достаточно массивные виртуальные частицы. Радиус ядерных сил не превышает 10^–13 см, и безмассовые бозоны Янга и Миллса явно не могли претендовать на роль их переносчиков. Опять же, экспериментаторы никогда не регистрировали таких частиц, хотя в принципе заряженные безмассовые бозоны легко обнаружить.

Сейчас известно, что у Янга и Миллса был конкурент — да еще какой! Когда Янг вернулся в Принстон, директор Института фундаментальных исследований Роберт Оппенгеймер попросил его провести семинар по новой работе. Там присутствал Паули, который пару раз спросил Янга, что делать с отсутствием массы у В-частиц. Янг честно сказал, что ответить на этот вопрос не может. Позднее выяснилось, что примерно в то же время Паули и сам получил аналогичные результаты, но воздержался от их публикации как раз из-за «непонятки» с безмассовостью. Янг и Миллс были много моложе и, возможно, поэтому оказались смелее.

Но история их полей на этом не закончилась. Соавторы показали, что неабелевы калибровочные симметрии рассмотренного ими типа «на бумаге» могут порождать силовые поля неэлектромагнитной природы, однако физическая реальность этих полей была чистой гипотезой. Но оставалась таковой недолго. В 1960-е годы Шелдон Глэшоу, Стивен Вайнберг и Абдус Салам построили на основе полей Янга — Миллса теорию электрослабых взаимодействий, которая в следующем десятилетии стала частью Стандартной модели элементарных частиц. В этой новой теории переносчики электрослабого взаимодействия, законные наследники полей Янга — Миллса, получили массу благодаря так называемому механизму Хиггса, о котором тоже можно прочитать в моей книге (стоит отметить, что Янг сначала его не принял — что делать, и гении ошибаются). После этого калибровочные симметрии стали неотъемлемой частью фундаментальной физики. Сам Янг в посвященной Эйнштейну статье, опубликованной в 1980 году, выразил суть калибровочного принципа с чеканной лапидарностью: «Симметрия диктует взаимодействие».

Расслоенные пространства и физика

Читатель, вероятно, уже догадался, что теорию Янга — Миллса можно описать в терминах расслоенных пространств. В этом случае база — это, как и раньше, пространство Минковского, а типичный слой — группа SU(2). В этом расслоении тоже можно ввести и связность, и кривизну, но сделать это технически сложнее, чем для U(1)-расслоения. То же самое можно сказать и о других неабелевых калибровочных теориях.

В 1930-е годы ни статья Вейля, ни последовавший через четыре года обзор Паули не заинтересовали математиков, создававших теорию расслоений. Понять это нетрудно. Релятивистская теория электрона была успешно объединена с электромагнетизмом другими способами и другими учеными, включая Поля Дирака, Паскуаля Иордана, Юджина Вигнер, Ханса Бете и Энрико Ферми. В середине того десятилетия были даже основания считать, что вычислять взаимодействия между фотонами и электронами, равно как и другими заряженными частицами, теперь в принципе можно с любой точностью. Однако во второй половине 1930-х стало ясно, что такие вычисления дают конечные результаты только в первом порядке теории возмущений. В следующих порядках они приводили к бесконечностям, о чем, кстати, Роберт Оппенгеймер, Вернер Гейзенберг и шведскй физик-теоретик Ивар Веллер догадались еще в 1930 году. В результаты ключевой проблемой квантовой электродинамики стала борьба с расходимостями. Путь к ее решению был намечен голладским физиком Хендриком Антони Крамерсом и двумя его учениками еще в 1939–1941 годах (тогда же, независимо от них, аналогичные результаты получил Оппенгеймер). Однако полностью расходимости были устранены из квантовой электродинамики на основе метода перенормировок только во второй половине 1940-х годов, прежде всего благодаря трудам Бете, Джулиана Швингера, Синъитиро Томонаги, Ричарда Фейнмана и Фримена Дайсона.

Работе Янга и Миллса в этом смысле повезло больше — хотя и не сразу. В том же 1965 году, когда было опубликовано выступление Дайсона на сессии Американского физического общества, Королевский колледж Лондона пригласил сотрудника (и будущего директора) Института теоретической физики Варшавского университета Анджея Траутмана прочесть курс лекций о новейших методах математической физики. Насколько я знаю, в этих лекциях он впервые продемонстрировал связь между калибровочными теориями в версиях Вейля и Янга — Миллса и теории расслоенных пространств. Лондонские лекции Траутмана, как и другие его работы на эту тему² появились в печати уже в 1970-е годы и произвели сильное впечатление как на физиков, так и на математиков. Как раз тогда расслоенными пространствами заинтересовался и Янг. В 1975 году он посвятил им очень интересную статью ³, написанную в соавторствe со скончавшимся летом этого года гарвардским профессором Тай-Тзун Ву. В этой работе Ву и Янг сформулировали словарь соответствий между терминами теорий калибровочных полей и расслоений, который немало помог встречному движению физиков и математиков. Позднее Янг вспоминал, что в 1976 году он дал копию этой статьи известному американскому математику, профессору Массачусетского технологического института Изадору Зингеру. Зингер привез ее в Оксфорд и показал своему не менее знаменитому коллеге и соавтору, президенту Лондонского математического общества Майклу Атье и другим математикам. Они настолько заинтересовались ее содержанием, что сами стали исследовать геометрические аспекты калибровочных теорий.

В общем, к концу 1970-х годов вторая геометризация физики стала свершимся фактом. Она привела ко множеству глубоких результатов как в области теоретической физики, так и в сфере математики. А также создала новый язык, который, как сейчас считается, пригоден для описания всех фундаментальных взаимодействий. Правда, пока неясно, можно ли использовать этот язык для создания квантовых теорий гравитации. Но это уже совсем другая история.

Обобщающее заключение

Для ясности резюмирую написанное. «Чистые» теории Янга — Миллса (их называют теориями без материи) описывают рождение и уничтожение безмассовых векторных частиц, калибровочных бозонов. Все они имеют в качестве типичного слоя ту или иную группу Ли, она же калибровочная группа (расслоения с такой структурой называются главными, principal fibre bundles). Их формы связности задаются наборами векторных функций, которые физики называют калибровочными потенциалами (вспомним описанный выше 4-вектор с компонентами A₀, A₁, A₂, A₃). Геометрическая структура типичного слоя может описываться с помощью разных систем координат (как и наше родимое евклидово пространство). Переход от одной системы координат к другой является тем, что физики называют калиброчным преобразованием. На основе формы связности вычисляется тензор кривизны расслоенного пространства, который на языке физики называется калибровочным полем.

Однако это еще не вся картина. Как известно, в нашем мире существуют не только калибровочные бозоны. Есть и другие частицы, как массивные, так и безмассовые, которые физики называют полями материи, matter fields. Их тоже можно представлять на языке теории расслоений, но для этого надо вводить дополнительные математические структуры, так называемые ассоциированные расслоения. Поскольку даже их краткое описание полностью выходит за рамки этой статьи, самое время ее закончить.

А в заключение подчеркну, что геометризация уравнений калибровочных теорий дает уникальную возможность находить их глобальные решения. И в этом, вероятно, ее основное достоинство.

¹ см. avtor-kmk.ru/pages/showitem.php?id=953
и trv-science.ru/2024/04/etyudy-o-chastictsah/

² См., например, Trautman A. Infinitesimal connections in physics. Proceedings of the International Symposium on New Mathematical Methods in Physics, Bonn, 1973.

³ Wu T. T. and Yang C. Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields. Physical Review D, Vol. 12, No 12 (1975).