Предлагаем также ознакомиться с мнением канд. физ.-мат. наук, научного сотрудника Института проблем передачи информации РАН (Москва) и LIRMM CNRS (Франция, Монпелье) Александра Шеня, которого редакция ТрВ—Наука попросила прокомментировать заметку Семёна Кутателадзе «Наука ничего не должна лженауке».
1. Идея «бесконечных чисел» (бесконечно малых, бесконечно больших) знакома нам «по жизни» и встречается в разных вариантах. Мы можем сказать, что какие-нибудь галактики бесконечно далеки от нас, имея в виду, что они настолько далеки, что уже не важно, насколько именно. Тем не менее, дело это не такое простое — вопрос о том, одинаковы ли числа 0,9999… (бесконечная дробь из одних девяток) и 1,000… или первое всё же немного меньше, ставит многих школьников в тупик. А если мы удалим из отрезка его правый конец, какая из оставшихся точек будет крайней? Тоже не так ясно.
2. Математический анализ традиционно говорит о «бесконечно малых», раньше его так и называли — «анализ бесконечно малых». Скажем, средняя скорость тела за какой-то промежуток времени определяется как отношение пройденного расстояния к потраченному времени. Чтобы получить мгновенную скорость, нужно взять этот промежуток «бесконечно малым». Смысл этих выражений (когда и почему бесконечно малыми можно и нужно пренебрегать, а когда никак нельзя) был долгое время предметом споров. В XIX веке Коши (и другие) сумели поставить анализ на твердую основу, истолковав его основные понятия с помощью теории пределов. При таком толковании никаких бесконечно малых нет, а есть (для нашего примера) предел средней скорости при стремлении длины промежутка к нулю. Такой подход и сейчас является стандартным при изложении анализа, хотя для наглядности математики и особенно физики часто говорят о бесконечно малых приращениях чего-нибудь.
3. Другой вид «бесконечности» ввел Кантор в конце XIX века, говоря о количестве элементов в бесконечных множествах. Скажем, он объяснил, в каком смысле точек на отрезке больше, чем целых чисел: как бы мы ни нумеровали точки отрезка целыми числами, обязательно останутся непронумерованные точки. В построенной им теории множеств это описывается «кардинальными числами» (а кроме того, есть и «ординальные числа»). Теория множеств получила свое развитие в рамках математической логики, которая постаралась избавить ее от парадоксов и дала (более или менее) надежную основу.
4. В 1960-е годы Абрахам Робинсон (и другие математические логики) заметили, что с помощью логических методов можно предложить вариант построения математического анализа, в котором, помимо обычных чисел (среди которых нет бесконечно малых) бывают и другие, «нестандартные» числа, в том числе бесконечно малые и бесконечно большие.
Некоторые энтузиасты даже думали, что это построение можно использовать для преподавания анализа нематематикам, которым обычный подход кажется слишком сложным. Из этого ничего не вышло — дело в том, что есть несколько вариантов построения нестандартного анализа, но все они требуют хорошего знакомства с математической логикой, потому что надо постоянно различать, какие из рассматриваемых чисел «стандартные», а какие «нестандартные». С другой стороны, имеется множество интересных работ, применяющих нестандартный анализ (в этом смысле) и вообще теорию моделей (раздел математической логики) к разным математическим вопросам.
5. Естественно, что у неспециалистов возникает идея рассматривать бесконечные числа «по-простому», без всех этих логических хитростей (которые им кажутся непонятными) – и они не всегда осознают проблемы, с которыми сталкивается такой «наивный» подход. Судя по публикациям Сергеева и его докладу на одной из конференций (в Орлеане), который я слышал, тут именно этот случай (а его усилия по патентованию своих идей, связанных с бесконечно большими числами, придают происходящему дополнительный оттенок абсурда).