Колмогоров и мультипликативные каскады

קֹ֥ול יְהוָ֗ה עַל־הַ֫מָּ֥יִם אֵֽל־הַכָּבֹ֥וד הִרְעִ֑ים יְ֝הוָ֗ה עַל־מַ֥יִם רַבִּֽים׃

Ps. 28.3¹

К41

καὶ γὰρ ἐν ὄψει ἀνθρώπων ἐὰν κολασθῶσιν ἡ ἐλπὶς αὐτῶν ἀθανασίας πλήρης

Sap.Sol. 3.4

Колмогоров по его собственному признанию заинтересовался «турбулентными потоками жидкостей и газов» в конце 1930-х годов. Как это произошло? Андрей Николаевич ссылается на работы Тэйлора (Taylor) и фон Кармана (von Kármán); заметно также влияние на него книги Ричардсона: второе подстрочное примечание к «Локальной структуре турбулентности» — как указывает на то и Яглом — есть перифраза слов Ричардсона.

Колмогоров: «С энергетической точки зрения процесс турбулентного перемешивания естественно представлять себе так: пульсации первого порядка поглощают энергию осредненного движения и передают ее последовательно пульсациям более высоких порядков; энергия же самых мелких пульсаций рассеивается в тепловую благодаря вязкости».

Ричардсон, с. 66: «Big whirls have little whirls that feed on their velocity, and little whirls have lesser whirls and so on to viscosity».

Но как возник интерес Колмогорова к «статистической турбулентности» цитируемых им Тэйлора и фон Кармана? Я не смог найти ответа. Поразительно, на каком коротком промежутке времени утеряна история одного из главных открытий того, чей каждый шаг должен был быть записан. Мы ленивы, нелюбопытны и забывчивы.

Συρβηνέυς — turbulentus — турбулентный

Будто с плугом проехались: один — в одну сторону, другой — в другую, как под лемешом. Чертова жизня, и время страшное!

М. А. Шолохов. Тихий Дон, 3.II

Исихий ссылается на Кратина, использовавшего слово συρβηνέυς во «Фракиянках», а к самому слову дает два толкования: 1) αυλητής (флейтист) и 2) ταραχώδης (то есть, по Дворецкому, «вносящий смятение», «запутанный», «сбивчивый», «беспорядочный»; осмелимся предложить синоним «смутный», тем более, что Лидделл — Скотт — Джонс указывают толкование «мутный (о жидкости)» (turbid (of a liquid)) со ссылкой на врача Александра Тралльского, брата математика Анфимия Тралльского, изучавшего конические сечения и вместе с Исидором Милетским создавшего Святую Софию).

То, что слово συρβηνέυς не было понятно александрийцам, мы увидим, раскрыв 15-й том «Пира мудрецов» Афинея в блистательном горячем русском переводе Голинкевича: «Ты, подонок, воображаешь, будто <…> твои слова что-нибудь для меня значат, бесстыжая ты сука? (κύον ἀδδεές — Илиада ХХI.481) Но <…> если ты <…> вознамерился <…> меня научить <…> — я заключаю с тобой перемирие на сто лет <…>, только <…> скажи, что это за “συρβηνέων χορός”» (XV.697 Казобон, 545 Кайбель).

Пир идет уже давно — поговорив о благовониях и умащениях, мудрецы обсуждают застольные песни, аттические сложные (такая песенка называется σκόλιον), например:

ἐκ γῆς χρὴ κατίδην πλόον,
εἴ τις δύναιτο καὶ παλάμην ἔχοι.
ἐπεὶ δέ κ᾽ ἐν πόντῳ γένηται,
τῷ παρεόντι τρέχειν ἀνάγκη.

На берегу свой путь морской рассчитывай
Пока имеешь ты к тому возможности,
А вышел в море — тут уж надо
Мчаться туда, куда ветер дует…

или:

ἐν μύρτου κλαδὶ τὸ ξίφος φορήσω,
ὥσπερ Ἁρμόδιος καὶ Ἀριστογείτων,
ὅτε τὸν τύραννον κτανέτην ἰσονόμους
τ᾽ Ἀθήνας ἐποιησάτην.

Да, вечная слава вас ждет и потом,
О, милый Гармодий с Аристогитоном,
За то, что тирана сразили мечом
И равными сделали всех пред законом…

Затем — «блудливые песенки, называемые „локрийскими“» (αἱ Λοκρικαὶ καλούμεναι, μοιχικαί τινες τὴν φύσιν ὑπάρχουσαι), «свинские песенки» (название песенке κολάβρος, т. е. «поросенок»; точнее таким образом было бы перевести «поросячьи»), «развеселые» (песенка так и называется — ἱλαρός) двора Великого Царя Антиоха:

κἀγὼ παιδοφιλήσω:
πολύ μοι κάλλιον ἢ γαμεῖν:
παῖς μὲν γὰρ παρεὼν κἠν
πολέμῳ μᾶλλον ἐπωφελεῖ.

Буду мальчишку любить;
По мне, это лучше женитьбы:
Мальчик всегда под рукой,
И в бою мне еще пригодится…

И — апофеозом обсуждения — συρβηνέων χορός: ὧν ἕκαστος τὸ δοκοῦν ἑαυτῷ κατᾳσαι δεῖ, προσέχων οὐδὲν τῷ προκαθημένῳ καὶ διδάσκοντι τὸν χορόν, ἀλλ᾽ αὐτὸς πολὺ τούτων ἀτακτότερός ἐστιν θεατής («каждый участник которого поет, что только ни придет ему в голову, не слушая ни предстоятеля, ни наставника хора, а слушатели такого пения еще того больше буйствуют»).

Как же перевести συρβηνέων χορός? Казобон транслитерирует syrbenaeus chorus, Голинкевич смело ставит «кошачий концерт». В сегодняшних словарях слово σύρβη отождествляют с τύρβη (по Дворецкому — «смятение, сутолока, суматоха»), в вариации σ/τ видят указание на догреческое происхождение слова. Лидделл и Скотт (в греческом издании) напрямую уравнивают συρβηνέυς = turbulentus.

Слово turbulentus в басне о льве и ягненке использует Федр в значении «мутный»:

Cur, inquit, turbulentam fecisti mihi
Aquam bibenti?

(ср. у Крылова «чистое мутить питье», у гр. Льва Толстого: «мне воду мутишь» — как в оригинале Эзопа: θολοῦντα τὸ ὕδωρ).

Цицерон в диалоге “De finibus bonorum et malorum” («О границах добра и зла») критикует учение Демокрита об атомах: «deinde eadem illa atomorum, in quo etiam Democritus haeret, turbulenta concursio hunc mundi ornatum efficere non poterit» (в изумительном переводе Харриса Рэкхэма: «this riotous hurly-burly of atoms could not possibly result in the ordered beauty of the world we know»).

Аналогичным образом используют слово turbulentus и новые авторы, например Беда Достопочтенный, комментируя Песню Песней IV.16: «Denique induravit Dominus cor Pharaonis, ut affligeret populum suum (Exod.X): sed post modicum, liberatis eis qui affligebantur, punivit in aeternum eum qui afflixerat. Et iniquo eum omnium capiti, cum dicit de beato Job “Ecce in manu tua est” (Job I), egressusque ille maxima eum plaga percussisset, annon tibi videtur, quia ventorum turbulentissimo ac durissimo dixerit: Perfla hortum meum, et fluent aromata ilius?» (Bed. Cant.1151 A)

In sermo vulgaris я не нашел упоминаний «турбулентности» раньше, чем у Леонардо в Атлантическом кодексе: “doue la turbolenza dellacqua si genera/doue la turbolenza dellacqua si mantiene plugho/doue la turbolenza dell’acqua si posa <…> l’acqua che dalle cime de’ monti alle lor radici discende, in ogni grado del suo discenso acquista grado di turbulentia” (Codex Atlanticus, 79 RC). Оставим в стороне споры, пишет ли Леонардо о бурности или о мутности вод Арно — рисунки его ясно представляют иерархию турбулентных вихрей — предвосхищают турбулентность Колмогорова.

По-французски слово turbulence появляется еще позже, а именно в издании 1531 года французского перевода «Зерцала великого» Винсента из Бове. Turbulence (набранная с опечаткой: trubulence) переводит латинское titubantia; в более ранних французских редакциях перевода turbulence нет; впрочем, turbulento есть — в другом месте — в латинском оригинале.

Научный термин «турбулентность» появляется сравнительно поздно — ни Рейнольдс, ни Рэлей, ни Буссинеск им не пользуются — и становится общепринятым лишь после Первой мировой войны. По-русски мне неизвестны примеры использования слова «турбулентность» до 1938 года, а за рамками научно-технической литературы — до оттепели.

Готтхильф Хаген

Bei stark bewegter See und heftigem Winde bemerkt man sehr deutlich, dass gleichzeitig eine grosse Anzahl von Wellensystemen in verschiedener Staerke und verschiedener Richtung auftritt.

G. H. L. Hagen. Handbuch der Wasserbaukunst III.1

Среди предшественников Колмогорова остановимся кратко на Готтхильфе Хагене — первым, раньше Пуазейля, описавшем так называемые пуазейлевские течения.

Ученик Бесселя, Хаген составил учебник по теории вероятностей: «Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung» — замена züge на begriffe переводит его в название знаменитой книги Колмогорова. Понимал ли Хаген важность теории вероятностей для гидродинамики?

Хаген дает простое и элегантное объяснение центральной предельной теоремы, которого я не видел в современных учебниках. Для простоты ограничимся случаем «честной» монетки (= симметричного случайного блуждания).

При 2n испытаниях наиболее вероятны n успехов: их вероятность составляет $p_0=(C_{2n}^n)/2^{2n} =(2n)!/(〖(n!)〗^2 2^{2n} )$.

Далее, вероятность n+k успехов есть

$$p_k=\frac{C_{2n}^{n+k}}{2^2n} =\frac{(2n)!}{(n+k)!(n-k)!2^{2n}}.$$

Вероятность p_k уменьшается с ростом k, причем выполнено $p_{k+1}/p_k =(n-k)/(n+k+1)$, или, что то же, $(p_{k+1}-p_k)/p_k =-(2k+1)/(n+k+1)$. Полагая $x = k/\sqrt{n}$ и переходя к пределу, записываем $dp/p=-(2x \ dx)$, откуда и получаем $p(x)=const \cdot e^{-x^{2}}$.

Памятник Готтхильфу Хагену стоит сегодня в Балтийске.

Статистическая теория турбулентности

Мне сразу стало ясно, что основным математическим аппаратом исследований призвана стать теория случайных функций.

А. Н. Колмогоров

«При изучении турбулентности естественно считать компоненты скорости <…> случайными величинами в смысле, принятом в теории вероятностей», — начинает свою заметку Колмогоров, а далее ссылается на работу Миллионщикова.

Непосредственные предшественники Колмогорова и Миллионщикова, фон Карман и Тэйлор, используют знак осреднения без комментария, отнюдь не утруждая себя тем, чтобы придать ему смысл.

Монин и Яглом указывают (том 1, с. 167), что «набор аналогичных опытов представляет собой статистический ансамбль»: при многократном повторении опыта, например «в аэродинамической трубе при обтекании прямого кругового цилиндра», турбулентность именно в том и будет проявляться, что каждый раз мы получаем разный результат (скажем, разное значение скорости). Вместе с тем арифметическое среднее значений результата эксперимента при росте числа опытов будет устремляться к пределу — среднему по ансамблю.

В таком смысле и понимаются случайные величины в теории Колмогорова.

О логарифмически нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении

Колмогоров подал в ДАН заметку о локальной структуре турбулентности 28 декабря 1940 года. Несколькими днями ранее, 17 декабря 1940 года, он подал другую заметку. В ней математик отправляется от указания Н. К. Разумовского на то, что «логарифмы размеров частиц (золотин в золотоносных россыпях, частиц горных пород при их дроблении и т. п.) подчиняются приближенно гауссовскому закону распределения», а также на «применимость гауссовского распределения к логарифмам содержания минералов в отдельных пробах».

Лишь самые скудные сведения удалось мне найти о геологе, вдохновившем Колмогорова на важное открытие. А. А. Хохлов сообщает в «Вятских записках» (вып. 30), что Николай Константинович Разумовский родился 6(18) октября 1893 года в Казани, в 1912 году окончил Вятское Александровское (устроенное земством для подготовки учителей сельских школ и с самых первых дней принимавшее многих крестьянских детей, составивших треть первого набора и две пятых набора 1910 года) реальное училище — двадцатью годами раньше там недолго учился «озорник, сорванец, шалун», одинокий, вспыльчивый мальчик Саша Гриневский, будущий писатель Александр Грин — и поступил в Горный институт императрицы Екатерины Второй в Санкт-Петербурге. После Октябрьской революции Разумовский, не кончив курса, возвращается в Вятку (А. А. Хохлов не указывает, когда именно), где с ноября 1918 года преподает минералогию в родном реальном училище и работает в музее; впрочем, уже весной 1919 года Разумовский перебирается в Нолинск, в уездный отдел народного образования. Короткий вятский период оказывается чрезвычайно насыщенным и ярким: Разумовский открывает несколько новых музеев и один из первых в стране геологических школьных кружков, организует и редактирует серию «Естествознание», для которой сам пишет три брошюры.

Вернувшись осенью 1920 года на берега Невы, в 1922 году Н. К. Разумовский защищает диссертацию и начинает преподавать в Горном Институте. Дальнейший жизненный путь исследователя у меня восстановить не получилось: видно только, что в 1939 году Н. К. Разумовский кратко, и неудачно, был заместителем директора Кольской Базы АН СССР, Геологический отдел которой он возглавил — в упрек ему были поставлены слишком частые командировки в столицы (Е. И. Макарова и В. П. Петров «Опыт институционализации науки в евроарктическом регионе: от ХИГС до КФАН СССР»).

Умер Николай Константинович 29 марта 1966 года. Гора Разумовского расположена на Земле королевы Мод, 71 град 29 мин ю. ш., 12 град 43 мин в. д.

Колмогоров вводит в рассмотрение марковский процесс дробления частиц и делает основное допущение о независимости «вероятностей каждой частице раздробиться за единичный промежуток времени на то или иное число частиц тех или иных относительных размеров от размеров исходной частицы».

Следуя Колмогорову, обозначим символом $N(r,t)$ общее число части, чей размер не превосходит r, в момент времени t (Колмогоров уточняет, что «размер» может тут означать диаметр, вес и всё, что угодно, что у части меньше, чем у целого); положим также $N(t)$ — общее число частиц. Насколько я смог понять, время Колмогоров (не сказав того явно) полагает дискретным. Далее Колмогоров берет параметр k ∈ (0,1) и обозначает символом Q(k) «математическое ожидание числа частиц размеров p ⩽ kr, образующихся за промежуток времени между t и t + 1 из одной частицы, имевшей в момент времени t размер r». Для математического ожидания $\overline{N}(r,t)$ случайной величины $N(r,t)$ Колмогоров получает уравнение:

$$\overline{N}(r,t+1)=\displaystyle\int_0^1\overline{N}\left(\frac{r}{k},t\right)dQ(k),$$

откуда и выводит, что случайная величина N(e^x,t)/N(t) стремится при росте t (и соответствующем скейлинге) к нормальному распределению.

Заметка Колмогорова написано сжато и не очень прозрачно; из помещенных во второй, посвященный теории вероятностей, том шеститомного собрания «Избранных трудов» Колмогорова эта заметка единственная, к которой нет комментария. Вместе с тем Алексей Фёдорович Филиппов, автор знаменитого задачника по дифференциальным уравнениям, в своей единственной работе по теории вероятностей дал подробное строгое изложение результата Колмогорова и обобщил его на случай непрерывного времени.

Гипотеза логарифмической нормальности

Возражение Ландау к работе Колмогорова 1941 года привело Обухова к предположению о логарифмической нормальности диссипации энергии. Сформулируем гипотезу Обухова, следуя работе Колмогорова 1961 года.

Определим

$$\epsilon=\frac{\nu}{2}\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)^2$$

Здесь ν — вязкость, u = (u₁, u₂, u₃)— скорость. Гипотеза Обухова утверждает, что осредненная по сфере достаточно маленького радиуса r диссипация энергии

$$\epsilon_r(\overrightarrow{x},t)=\frac{3}{4\pi r^3}\int_{|h|<r}\epsilon_r(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{h},t)d\overrightarrow{h}$$

имеет логарифмически нормальное распределение (то есть, ее логарифм имеет нормальное распределение).

В 1966 году А. М. Яглом предложил замечательное описание флуктуаций диссипации энергии. Следуя Яглому, «рассмотрим турбулентное движение в пределах куба V₀ с ребром L»; разобьем далее куб V₀ на произвольное число n «кубов первого порядка» с ребрами L₁ = L₀n^–1/3; затем каждый из кубов первого порядка разобьем на n «кубов второго порядка» и т. д. — «процесс последовательного разбиения кубов можно считать в какой-то мере соответствующим „каскадному процессу“ порождения всё меньших и меньших турбулентных образований». Далее А. М. Яглом обозначает символом ε_j диссипацию энергии, осредненную по кубу j-го порядка, и постулирует запись

$$\epsilon_j=\overline{\epsilon}e_1\dots e_j,\log\epsilon_j=\log\overline{\epsilon}+\log e_1+\dots+\log e_j,$$

где ε — величина, зависящая лишь от куба V₀, а «все слагаемые log e_k, кроме нескольких первых из них, являются одинаково распределенными случайными величинами» — а «в таком случае, в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей, log ε_j при j >> 1 должен иметь нормальное распределение вероятностей».

Здесь нужно сказать о влиянии работы Яглома на советских математиков; но для автора это очень трудно. С одной стороны, останавливает его неограниченное почтение, а с другой… с другой стороны, просто трудно. В реакции современников на работу Яглома замечательнее всего то… нет, никаким образом не могу; совсем не поднимается перо, точно будто свинец какой-нибудь сидит в нем.

Так и быть: я не нахожу ни малейших свидетельств какой бы то ни было реакции. Заметка Яглома в частности — и теория Колмогорова в целом — не нашла отклика у советских математиков.

Несколько коллег, и в Москве, и в городе святого Петра, подтвердили мне, что турбулентность Колмогорова отнюдь не воспринималась советскими современниками как источник интересных математических задач. Свою роль сыграл, возможно, и феодализм советской математики: турбулентность была территорией Яглома, и другие математики боялись вмешиваться.

За мной, читатель! Советские математики за двадцать лет ни словечка не сказали (а если я что пропустил, так прошу, читатель, поправь меня!) о мультипликативных каскадах — мы пересекаем Днепр, Неман, Вислу и Рейн с тем, чтоб очутиться у мутных вод серого грязного города.

Теорема Кахана

Математически строгую теорию гауссовских мультипликативных каскадов — гауссов мультипликативный хаос — построили в 1970-е–1980-е Мандельброт, Пейрьер и Кахан.

Сформулируем теорему Кахана. Отождествим единичный отрезок I с бесконечным двоичным деревом. Каждому конечному двоичному слову e₁e₂…e_n сопоставим соответствующий двоичный отрезок I (e₁e₂…e_n). Например I(0), есть левая половина отрезка I, I(1) — правая половина, I(00)— левая четверть и т. д. Предположим дополнительно, что каждому конечному двоичному слову e₁e₂…e_n сопоставлена гауссова случайная величина Y_e1e2…en со средним O и дисперсией log 2;  случайные величины Y_e1e2…en предполагаются независимыми в совокупности. Пусть теперь μ_n— случайная мера, плотность которой по отношению к стандартной мере Лебега задается на отрезке I (e₁e₂…e_n) формулой exp(Y_e1+ Y_e1e2 +…+ Y_e1e2…_en–n/2).

Теорема Кахана. Последовательность случайных мер μ_n сходится при n → ∞.

Что такое случайная мера? Это мера, задаваемая случаем. Более строго: вспомним, что мера m — скажем, на отрезке [0,1] — сопоставляет каждому подотрезку [a, b] неотрицательное число m([a, b]). Аналогичным образом случайная мера μ — скажем, на отрезке [0,1] — сопоставляет каждому подотрезку [a, b] неотрицательную случайную величину μ([a, b]).

Соответственно понимается и сходимость случайных мер. Случайная мера есть по по определению распределение вероятностей в пространстве мер, то есть, мера на мерах —сходимость по распределению случайных мер и есть, таким образом, сходимость мер в пространстве мер на мерах.

Доказательство теоремы Кахана

Мы докажем чуть более простой вариант теоремы Кахана, а именно: возьмем и определим случайную меру μ_n^(γ), плотность которой ρ_n^(γ) задается формулой

$$\rho_n^{(y)}(t)=exp\left(\gamma(Y_{e_1}+Y_{e_1{e_2}}+\dots+Y_{e_1{e_2{e_n}}})-\frac{\gamma^2 n}{2}\right)$$

при t ∈ I (e₁e₂…e_n). В этом случае выполнено следующее предложение: для всякого отрезка J ⊂ [0,1] случайная величина μ_n^(γ)(J) сходится в среднеквадратическом.

Доказательство этого предложения занимает всего пару строк!

Действительно, вспомнив формулу Ee^ξ+n = e^〈ξ,n〉Ee^ξEe^η для компонент (ξ, η) гауссова вектора и несложно проверив, что

$$\lim_{n,m\to\infty}E\rho_n^{(\gamma)}(t)\rho_m^{(\gamma)}(s)=\left| t-s\right|^{-\gamma^2}$$

при любых t, s ∈ [0,1], причем левая часть монотонна и по n, и по m, мы убеждаемся, что

$$\lim_{n,m\to\infty}\left\langle\mu_n^{(\gamma)}(J),\mu_m^{(\gamma)}\right\rangle=\iint_{J \times J}\left|t-s\right|^{-\gamma^2} dtds.$$

Скалярное произведение в левой части — это скалярное произведение в гильбертовом пространстве интегрируемых с квадратом случайных величин, т. е. Eμ_n^(γ) (J)μ_m^(γ) (J). Остается заметить элементарное свойство гильбертовых (если угодно, эвклидовых) пространств — читатель может проверить его в трехмерном пространстве — рассуждение в любом числе измерений то же — если последовательность векторов v_n такова, что,

$$\lim_{n,m\to\infty}\left\langle v_n,v_m\right\rangle=\alpha,$$

то вектора v_n сходятся к пределу v, причем ||v||² = α.

Теорема Кахана в случае 0 < γ < 1 доказана полностью!

Случай γ = 1 требует несколько больших технических усилий; например, очень элегантный подход, основанный на теореме Гирсанова, предложил Натанаэль Берестицкий.

Загадка турбулентности

μέτρον καλὸν πεπιεσμένον σεσαλευμένον ὑπερεκχυννόμενον δώσουσιν εἰς τὸν κόλπον ὑμῶν· ᾧ γὰρ μέτρῳ μετρεῖτε ἀντιμετρηθήσεται ὑμῖν.

Лк 6.38

Как аксиоматика Колмогорова и аналитические методы Колмогорова открыли новую эру в истории исчисления вероятностей, так и работы Колмогорова по турбулентности открыли новые глубины, которых и подозревать нельзя было до него. Построение мультипликативного хаоса Каханом — лишь один пример. Создание теории турбулентности на математическом уровне строгости — задача для будущего. Нас ждет еще много чудесных открытий на указанном нам Колмогоровым пути.

Александр Буфетов, профессор РАН

1. Athenaei Naucratitae Dipnosophistarum libri XV (ed. G. Kaibel) Leipzig: B. G. Teubner. 1887–1892.

2. Афиней. Пир мудрецов, кн. I–XV (в пер. Н. Т. Голинкевича). — М.: Наука, 2010.

3. Beda Venerabilis In Cantica Canticorum Allegorica Expositio, documentacatholicaomnia.eu

4. Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР. 1941. Т. 30, № 4, с. 299–303.

5. Колмогоров А. Н. О логарифмически нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении // ДАН СССР. 1941. Т. 31, № 2, с. 19–21.

6. Kolmogoroff A. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Springer-Verlag, 1933. S. 62.

7. Hagen G. Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dümmler, Berlin 1837.

8. Schmitt F. G. Turbulence from 1870 to 1920: The birth of a noun and of a concept, Comptes Rendus Mécanique, 345:9 (2017), 620–626.

9. Mandelbrot, B. Intermittent Turbulence in Self-Similar Cascades: Divergence of High Moments and Dimension of the Carrier // Journal of Fluid Mechanics, 1974. 62, P. 331-358.

10. Kahane J.-P., Peyrière J. Sur certaines martingales de Benoit Mandelbrot // Advances in Mathematics, Vol. 22, Issue 2, 1976, P. 131-145, ISSN 0001-8708.

11. Peyrière, J. Turbulence et dimension de Hausdorff. Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences. 1974. Série A. 278.

12. Berestycki N. An elementary approach to Gaussian multiplicative chaos.

13. Гирсанов И. В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно-непрерывной замены меры // Теория вероятн. и ее примен., 5:3 (1960), 314–330

14. Колмогоров А.Н. Уточнение представлений о локальной структуре турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса, Mécanique de la turbulence, Colloque international CNRS, Marseille 1961.

15. Kahane J.-P. Sur le chaos multiplicatif, Annales des sciences mathématiques du Québec 9(2) (1985). 105–150.

16. Филиппов А. Ф. О распределении размеров частиц при дроблении // Теор. вер. прим., 6:3 (1961). 299–318.

17. Richardson, Lewis Fry. Weather Prediction by Numerical Processes. 1922.

18. Миллионщиков М. Д. Вырождение однородной изотропной турбулентности вязкой несжимаемой жидкости. Докл. АН СССР, т. XXII, Л2 5, 1939

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Теоретическая физика: т.VI.

20. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика, Механика турбулентности, 1965.

21. Яглом А. М. О влиянии флуктуаций диссипации энергии на форму характеристик турбулентности в инерционном интервале // Докл. АН СССР, 166:1 (1966), C. 49–52

¹ Глас Господень над водами; Бог славы возгремел, Господь над водами многими. (Псалмы. 28:3)