Вызов жизни. К 120-летию Андрея Николаевича Колмогорова

πᾶν κλῆμα ἐν ἐμοὶ μὴ φέρον καρπὸν, αἴρει αὐτό, καὶ πᾶν τὸ καρπὸν φέρον, καθαίρει αὐτὸ ἵνα καρπὸν πλείονα φέρῃ ¹.

Ин 15:2

Забытый Колмогоров

Колмогоров не известен в России почти никому за пределами круга профессиональных математиков. Не веря этому тезису, сформулированному коллегами как само собой разумеющийся, я опросил около десятка знакомых студентов-нематематиков: от МАИ, МЭИ и РУДН до Литературного института, ГИТИСа и Консерватории. Имени Колмогорова не знал ни один.

Из национальной прессы на юбилей откликнулся лишь «Коммерсантъ» ². Короткий выпуск дали «Вести Тамбова». Музыкант старшего поколения: «Если взять то, что я слышал о Ландау, за 100 единиц, то о Колмогорове будет — ½ единицы». В свои 120 лет Колмогоров забыт в России.

Возражают, что достижения математика — в отличие от поэта, музыканта, дипломата, врача — недоступны широкой публике и не могут вызывать интереса. Но результаты Колмогорова именно могут, как и требовал того Гильберт, быть объяснены прохожему на улице за четверть часа: например, колмогоровская сложность или закон двух третей. Иногда и общество интересуется математиком: ровеснику Колмогорова Ренато Качопполи (1904–1959), внуку Бакунина, основателю неаполитанской школы, посвящено пять биографий (пятая вышла в прошлом году) и фильм «La morte di un matematico napoletano» (David di Donatello, 1993), дебют в кино режиссера Марио Мартоне и актера Тони Сервилло. Могут далее возразить, что и фильм, и написанные историками и журналистами биографии Качопполи посвящены скорее жизни математика, чем его теоремам. Но разве жизнь Колмогорова менее драматична?

Начало пути

Nacque al mondo un sole ³.

Dante Alighieri, Paradiso XI:50

Андрей Николаевич Колмогоров родился вне закона 12 (25) апреля 1903 года в Тамбове. Мать его умерла родами, отца он почти не знал; его воспитанием занимались тетушки (Софья, Надежда и особенно Вера Яковлевна), дедушка, предводитель дворянства угличского уезда Яков Степанович, и бабушка Юлия Ивановна — «в начале 20-х годов <…> в Трубниковском переулке <…> бабушка <…> ночью направилась в уборную <…> мимо его [соседа] двери <…> он <…> сквозь дверь ее застрелил» (Колмогоров в записи В. М. Тихомирова).

Колмогоров учился в гимназии Евгении Репман, одной из первых в Москве с совместным обучением. Одноклассника Колю Селивёрстова Колмогоров в письме к Александрову 17 мая 1943 года называет «моя Магдалена Ферморен» [Magdalena Vermehren — Магдалена Вермерен — см. Тонио Крёгера]: «аналогии, конечно, все условны, в частности, моя „Магдалена Вермерен“  <…> не имела нежности и привязанности ко мне».

Близким другом юного Андрея станет младший брат Коли Глеб. В соавторстве с Глебом Александровичем Селивёрстовым Колмогоров докажет одну из своих самых знаменитых теорем (1926): тригонометрический ряд

$$\sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx + b_n\sin nx$$

сходится, коль скоро

$$\sum_{n=2}^\infty (a_n^2+ b_n^2)\log n <+\infty $$

По словам самого Колмогорова, его ранние работы по тригонометрическим рядам — и в их числе короткий цикл с Селивёрстовым — перебрасывают мост к его вероятностным работам: действительно, уже в доказательстве первого (1924) варианта теоремы Колмогорова и Селивёрстова работает (присутствующая, впрочем, уже и в прорывной заметке Колмогорова 1922 года) идея случайного момента — в данном случае момента остановки суммирования ряда Фурье. Хорошо помню, как Фефферман восхищенно говорил нам в курсе о теореме Колмогорова — Селивёрстова. Улучшить теорему Колмогорова — Селивёрстова смог только Карлесон в 1966 году.

Судьба Глеба Александровича Селивёрстова (1905–1944) глубоко трагична: «очень горячие религиозные убеждения» — арест — тюрьма — освобождение — фронт — плен — побег — проверочный лагерь — и смерть в лагере от дизентерии. Во время войны, по свидетельству Колмогорова, погиб и Николай Александрович.

Николай Николаевич Лузин

Впервые я встретился с ним, будучи студентом второго курса.
Впечатление от этой встречи я запомнил на всю жизнь. <…>
Лузин <…> очень скоро разобрался в характере моих математических склонностей
и <…> склонил меня к выбору одного из направлений, <…> тонко, без нажима
и <…> правильно. <…> Мне запомнилась его фраза <…>: «Я дни и ночи думаю над аксиомой Цермело <…>
Ах, если бы кто-нибудь только знал, что это за вещь!»

П. С. Александров «О призвании ученого», сборник «Возраст познания»
к XVII съезду Ленинского комсомола

«В 1921–1923 гг. Вячеслав Васильевич Степанов вел семинар по теории тригонометрических рядов, в котором в качестве самых младших участников занимались мы с Глебом Александровичем Селивёрстовым <…> От всего периода занятий тригонометрическими и ортогональными рядами у меня остались самые светлые воспоминания о дружной работе коллектива, возглавлявшегося (после того, как Н. Н. Лузин отошел от этой тематики) Дмитрием Евгеньевичем Меньшовым».

Колмогоров пришел в Московский университет в период необычайного расцвета московской математической школы. Егоров и ученик Егорова Лузин совершили чудо, за одно поколение превратив Москву из глубокой провинции в один из мировых математических центров.

По свидетельству Колмогорова, Николай Николаевич Лузин разделял своих учеников на занимающихся «метрикой» (то есть тригонометрическими рядами и аналитическими функциями, как Степанов, Привалов и Меньшов) и «дескрипцией» (то есть дескриптивной теорией множеств, как Суслин и Александров).

1916 год принес сразу два блистательно ярких достижения. В «метрике» Дмитрий Евгеньевич Меньшов построил знаменитый нуль-ряд: ненулевой тригонометрический ряд с нулевой суммой почти всюду.

В «дескрипции» Михаил Яковлевич Суслин построил неборелевское множество применением А-операции Александрова.

Самые простые подмножества прямой — интервалы — заключаются в себя все числа, строго большие одного числа и строго меньшие другого. Счетные объединения интервалов называют открытыми множествами, дополнения к открытым множествам — замкнутыми. Наименьший класс множеств, включающий интервалы, и такой, что применение операций счетного объединения, пересечения и разности к множествам класса не выводит за рамки этого класса, есть класс борелевских множеств.

(Неформальное определение — «борелевские множества получаются из открытых счетным числом операций счетного объединения и пересечения» — дает построение всех борелевских множеств трансфинитной индукцией по счетным ординалам.)

Доказывая, что всякое бесконечное борелевское множество допускает взаимно-однозначное соответствие либо с натуральным рядом, либо с вещественной прямой, Павел Сергеевич Александров придумал новую операцию на множествах, которую Суслин назвал А-операцией (независимо, по другую сторону фронта, тех же успехов удалось добиться Феликсу Хаусдорфу). Речь идет о том, что семейству замкнутых множеств $E_{n_1,\dots, n_k}$, занумерованных всеми конечными последовательностями натуральных чисел, сопоставляется новое множество

$$\bigcup_{\{n_k, k\in\mathbb{N}\}} \bigcap_{k=1}^\infty E_{n_1, \dots, n_k}.$$

(Объединение берется по всем бесконечным последовательностям натуральных чисел.)

Гениальное открытие Суслина состоит в том, что получаемое множество может не быть борелевским. Естественные примеры неборелевских суслинских множеств приводит Гауэрс в блоге: подмножество дифференцируемых на отрезке функций в пространстве непрерывных функций или в множестве графов с фиксированным счетным множеством вершин подмножество графов, допускающих бесконечный полный подграф.

Второе чудо Лузин совершил, сумев сохранить московскую школу в страшные 1920-е годы — годы гражданской войны, разрухи, голода и начинающихся репрессий. В страшные, кровавые, голодные годы талантливые молодые математики увлеченно рассуждают о сходимости тригонометрических рядов, о построении новых классов множеств с помощью (или без помощи) трансфинитных чисел. Чем больше вдумываешься в нее, тем невероятнее и чудеснее эта картина — и тем яснее виден подвиг учителя.

Сохранить, но не без потерь — в 1919 году умирает 24-летний Суслин. Лузин не дал ему рекомендации, и Саратовский университет отказал Суслину в месте. Михаил Яковлевич вернулся к себе в деревню и умер от тифа («Суслина называют учеником Н. Н. Лузина, загубленным Н.Н.» — Хинчин). Оценки того, как Лузин изложил в своей монографии результаты Суслина, расходятся резко («множества, открытые Суслиным, постепенно стали преобразовываться в литературе как множества, открытые Суслиным — Лузиным, а затем Лузиным — Суслиным», — П. С. Александров, 9 июля 1936 года).

Колмогоров, как мы уже видели, начал в семинаре Степанова и Меньшова — таким образом, с метрической теории функций («а написанные в 1921–1922 гг. мои дескриптивные работы пролежали в письменном столе Н. Н. Лузина, находившего их методологически неправильными, без всякого движения до 1926 г.»).

В 1922 году 19-летний Колмогоров получает свой первый гениальный результат: пример интегрируемой функции с расходящимся рядом Фурье. Математические способности проявляются обычно уже у подростка, и хотя не все математики формируются рано — достаточно вспомнить Вейерштрасса и Хаусдорфа, — математик, как поэт и музыкант (и в отличие от историка, философа или хирурга), может иметь бессмертные достижения в юности. Однако, в отличие от поэтов и даже музыкантов (ни Шуман, ни Вагнер не имели музыкального образования), математиков-самоучек не бывает почти никогда: математика — традиция, за редчайшими (такими, как Абель) исключениями блестящий математик — ученик блестящего научного руководителя. Гениальный прорыв юного математика, таким образом, — и его научного руководителя прорыв. Вместе с принадлежащим Суслину примером неборелевского результата А-операции Александрова, вместе с принадлежащей Меньшову конструкцией нуль-ряда, пример Колмогорова интегрируемой функции с расходящимся рядом Фурье отнюдь не менее изумительный сегодня, сто лет спустя, — конечно, триумф Лузина и его великой школы.

Тем трагичнее страшное дело Лузина 1936 года. Если я начинаю разговор о Колмогорове с московским математиком на одно поколение старше меня, то уже во второй его фразе обычно появляется дело Лузина. Глубокое исследование Демидова, Есакова и Левшина дает мне счастливую возможность не останавливаться на деле Лузина подробно.

Протест молодого гения против сковывающих его старших коллег — «Н.Н. было просто <…> глубоко противно, что <…> окажется выбранным <…> представитель молодежи вроде А. Н. Колмогорова» (Соболев, 7 июля 1936 года) — описан Вагнером в «Мастерах-певцах», только, к сожалению, у Сергея Натановича Бернштейна — «учителя дают ученикам нечто невесомое <…> если же ни учитель, ни ученик не обладают в этом отношении соответствующей деликатностью, то всегда возникают недоразумения» (15 июля 1936 года) — не получилось быть Гансом Саксом.

В стенограммах ужас времени — «И. И. Привалов в течение двух лет был тяжело болен психически <…> одна из идей, преследовавших его <…>, заключалась в его совершенно мнимой вине, когда кто-то был арестован. Это была бредовая идея, которая в течение всей болезни его преследовала» (П. С. Александров) и ужас семейной вражды — «Семеро против Фив».

С. С. Демидов и В. Д. Есаков ставят акцент на борьбе поколений за влияние в Академии — однако чтение стенограмм приводит меня к предположению о недостаточности такого объяснения. Дело горше и глубже. Да, Николай Николаевич Лузин и Павел Сергеевич Александров были оба склонны к театральности — но театральность не означает еще неискренности. Бешенство Александрова кажется мне подлинным — как и отчаяние Лузина.

Александров бросает своему когда-то глубоко любимому учителю одно за другим страшные обвинения: в том, что своего учителя, Дмитрия Фёдоровича Егорова, Лузин бросил и предал, открытие Суслина украл, самого его погубил — «На эту тему „Моцарт и Сальери“ был написан». Александров называл Лузина персонажем Достоевского — но, кажется, с неменьшей справедливостью так можно сказать о самом Александрове. Неужели же лузитане готовы были отправить своего учителя на эшафот? — прочитав стенограммы, в этом труднее сомневаться. Очень они тогда увлеклись. Павел Сергеевич Александров был человек страстный.

Отчаяние Лузина 13 июля: «относительно Суслина <…> самой болезненной была катастрофа <…>. Если бы я только предвидел, чем это кончится для меня, то, поверьте, что я готов был бы какие угодно вынести оскорбления и не только те, которые мне пришлось от него вынести, я готов был бы сделать всё, что угодно, чтобы избавиться от того ужаса, который тяготеет над моей жизнью». По-моему, об ужасе Лузин искренне сказал. Портрет Суслина, по свидетельству Александрова, всегда стоял у Лузина на его рабочем столе.

Предположение Демидова — Есакова о «чувстве вины перед учителем», конечно, делает честь благородному желанию авторов сгладить острые углы. Даже если ученики испытали такое чувство, то писать о нем не стали. Воспоминания Люстерника очень далеки от «гимна»: «микроклимат Лузитании казался мне искусственным, а манеры Лузина — чересчур театральными <…> по мере сужения его роли в реальном руководстве увеличивалась его роль в официальном руководстве математикой».

Думаю, что и Павел Сергеевич до конца сохранил твердую уверенность в собственной правоте в 1936 году: «Лузин в последние дни своей жизни до дна испил горькую чашу отмщения, о которой говорит Гёте» (1979).

Дело Лузина задает мне два простых вопроса. Как поведу себя я, появись предо мною дерзкий юный талант? Что сделаю, если на стол мне ляжет донос на коллегу?

Ньютон, Эйлер, Лобачевский

Изучать методологию ученого в первую очередь по его работам,
а не по его методологическим высказываниям.

А. Н. Колмогоров

О математиках Колмогоров написал для «Большой советской энциклопедии» более десятка кратких статей, добросовестных и бледных, а подробно писал о троих: Ньютоне, Лобачевском и Павле Сергеевиче Александрове. Первым потрясением Павла Сергеевича красотой математики было именно знакомство с геометрией Лобачевского, однако Колмогоров, по-видимому, не разделил восторженного чувства Павла Сергеевича к Лобачевскому.

Эссе о Ньютоне предваряет признание: «противопоставление здоровой ясности ньютоновского мышления математической мистике Лейбница и Эйлера мною заимствовано у Алексея Николаевича [Крылова]».

Алексею Николаевичу Крылову принадлежит чуть ли не первая книга об Эйлере по-русски, представляющая собою запись доклада Алексея Николаевича на торжественном заседании Академии наук СССР 5 октября 1933 года, посвященном 150-летию со дня смерти Эйлера. Читателю доставят приятные минуты привычные крыловские атрибуты: «вертепы, публичные и игорные дома» и проч. Не нужно только искать в книге верных утверждений: своим исключительным престижем академик Алексей Николаевич Крылов воспользовался именно для того, чтобы с высокой трибуны президиума Академии говорить вещи заведомо, общеизвестно нелепые, каких не простили бы старшекласснику на школьном кружке: «не только не было науки, но даже самого этого слова не существовало в тогдашнем русском языке» — нужно ли читать это всерьез, нужно ли возражать, что слово «наука» встречается в житиях XI века и, само собой, в текстах первой трети века XVIII — например, в элегии Тредиаковского о смерти Петра Великого.

«Буриданов осел издох <…> на основании <…> разжиженных ньютоновских аксиом устанавливается соотношение между силою, массою и ускорением точки и механическим вопросам о ее движении придается математическая формулировка», — эти слова нашел Алексей Николаевич для описания важного открытия Эйлера (1749–1752): в основу всей механики может быть положено дифференциальное уравнение второго порядка, связывающее ускорение точки с действующей на нее силой (сегодняшнему читателю может показаться, что открытый Эйлером «новый принцип механики» есть лишь пересказ сформулированного Ньютоном под влиянием Гюйгенса второго закона движения — но по источникам легко убедиться, что для перехода от Principia к открытию Эйлера потребовалось больше шестидесяти лет усилий многих исследователей, включая десятки лет работы самого Эйлера).

Я и не стал бы останавливаться на карнавальных представлениях академика Крылова о 1730-х годах — сила не в них, а в дыхании годов 1930-х: «застенки с дыбой для допросов с пристрастием, батогами и кнутами» или «поучая знаменитейших академиков <…> как истинно научно работать», — если бы не поразительные слова Колмогорова: «с Лейбница начинается период математики, достигший своей кульминационной точки в работах Эйлера, который характеризуется не простым пренебрежением к математической строгости <…> но активным, воинствующим убеждением в пользе и законности применения математических алгоритмов за пределами, в которых употребляемые в этих алгоритмах знаки имеют реальный смысл». Что это? Разве открывающий книги Эйлера не поражается тому, как современно — и по-современному строго — в них изложение? Учебник обыкновенных дифференциальных уравнений разделы, известные Эйлеру, и сегодня излагает очень близко к тому, как сделал это Эйлер. Где нашел Колмогоров «воинствующее», будто бы, у Эйлера пренебрежение к строгости?

Оказывается, речь всего-навсего о расходящихся рядах, о наивных формулах вроде:

1–2 + 4–8 + … = 1/3.

В современных терминах, при работе с аналитической функцией за пределами круга сходимости ее ряда Маклорена иногда удобно (по слову Эйлера, не приводит к ошибкам) принимать за «сумму» расходящегося ряда значение аналитического продолжения: в нашем примере берется функция F(z) = 1/(1+2z)
и ее значение в единице. Эйлер прекрасно понимает — и явно пишет о том Гольдбаху, — что речь идет о формальном суммировании — Крылов цитирует слова Эйлера (!!!), добавляя от себя: «все эти формулы в математике совершенно бесполезны». Справедливее замечает Харди в «Расходящихся рядах», что слова Эйлера мог бы произнести Чезаро. А «бесполезные» (по Крылову) формулы Эйлера — это функциональное уравнение для дзета-функции.

Протест Колмогорова против мистики в математике парадоксален (слово Синая) в духе парадоксов теории множеств: ведь сам Колмогоров — мистическая фигура.

Павел Сергеевич Александров

От них брызжут горячие солнечные лучи, здоровый смех и отважный вызов жизни!

Степан Гаврилович Скиталец

«Павел Сергеевич Александров умер за полгода до моего восьмидесятилетия. <…> пятьдесят три года нашей тесной и неразрывной дружбы явились основой того, что вся моя жизнь в целом оказалась преисполненной счастья, а основой моего благополучия явилась непрестанная заботливость со стороны Павла Сергеевича».

Воспоминания Колмогорова об умершем друге — один из самых пронзительных текстов в истории русской словесности.

«Мне запомнились вытащенные откуда-то Павлом Сергеевичем огромные листы бумаги со схемами образования множеств всё более высоких классов, созерцание которых в конце концов привело Павла Сергеевича к тому результату, что все В-множества любого класса являются А-множествами. Эти листы раскладывались по полу, и Павел Сергеевич вместе со мной ползал по ним, желая сделать наглядным получение В-множеств высоких (хотя бы и трансфинитных) порядков в результате однократного применения А-операции».

Тем, что он был оставлен в Москве после аспирантуры, Колмогоров обязан Александрову, убедившему Егорова сделать исключение и отклонить старшинство Глаголева. Они встречались в Малом зале, но не вступали в разговор: Колмогоров смущался, Александров ждал.

«Имея уже некоторый опыт лодочных плаваний, я решился стать организатором подобного путешествия. <…> Мне до сих пор не совсем ясно, как я решился предложить быть третьим компаньоном Павлу Сергеевичу. Однако он согласился сразу. <…> Со дня отплытия — 16 июня [1929 г.] — мы с Павлом Сергеевичем и исчисляем нашу дружбу, продлившуюся <…> 53 года».

«Из литературы была взята лишь „Одиссея“ <…> Для занятий я прятался в тень, Павел Сергеевич же часами лежал на открытом солнце лишь в темных очках и белой шляпке-панамке. Эту склонность работать совершенно раздетым на жгучем солнце он сохранял до весьма позднего возраста».

Из Казани в Астрахань, затем в Баку, в Дилижан, на Севан, в Тифлис и в Гагры: «Стоило посмотреть на его восторженное лицо, когда он бросался навстречу морским волнам!»

<…> «Я не помню точно, когда нами было принято решение поселиться вместе; во всяком случае с готовым таким решением мы вернулись из Гагр».

Колмогоров вспоминает совместные поездки в Германию (в Италию не поехали — не потому ли, что итальянским математикам, аналитикам и вероятностникам, Колмогоров был бы интереснее Александрова?) и во Францию: «Невдалеке находится мыс Горже — живописная группа красных скал. Мы особенно любили работать, забираясь на эти скалы, прыгать с них, купаться под ними. Павел Сергеевич работал, как обычно, на самом солнце, я — в тени».

«В 1935 г. мы приобрели у наследников Константина Сергеевича Станиславского часть старинного помещичьего дома в поселке Комаровка». <…> — Так появился Гусе-Песий Дом, где «территориально» поместился «наш с тобой общий, но отделенный от всего остального особый мир» (письмо А.Н. к П.С. 26.07.1942).

В конце 1930-х годов житель «Гусе-Песьего Мира» Колмогоров совершает одно из своих главных открытий: строит общую теорию локально изотропной турбулентности. Первые заметки о турбулентности поданы им в «Доклады» за несколько месяцев до войны. Исследования успешно продолжаются в эвакуации в Казани.

Великая Отечественная война делит жизнь Колмогорова на две примерно равные части.

О послевоенных достижениях Колмогорова много, и превосходно, написано его учениками, но о его жизни после войны я знаю очень мало. Особенно не хватает его прямой речи, не стесненной протоколом. Колмогоров всю жизнь писал много писем. Остается ждать новых публикаций.

Лишь готовя эту заметку, я понял, какое мужество требовалось, чтобы после академической казни, на краю могилы, 26 апреля 1986 года продиктовать ученикам: «я смогу принести еще много полезного, работая над учебниками для обычной школы и для юношества, увлеченного наукой. Оба направления деятельности меня увлекают, и имеется желание участвовать в них самым энергичным образом и с юношеским задором».

Помогать рыбакам вытаскивать сети

⁴מֵאֵ֣ת יְ֭הוָה הָ֣יְתָה זֹּ֑את הִ֖יא נִפְלָ֣את בְּעֵינֵֽינוּ׃

Пс. 117:23

Гротендик и Серр появились и быстро ушли — если приезд его в Марсель стал сенсацией, то в Париже в конце 1950-х, как и в начале 1930-х, Колмогоров не привлек внимания молодых математиков.

На кинопленке я не видел Колмогорова дольше нескольких мгновений, а записей его голоса слышал меньше, чем записей голоса гр. Льва Толстого.

Россия не узнала и не приняла Колмогорова. Думаю, что это изменится. Камень, отвергнутый строителями, станет во главу угла. Тем, кто его примет, он поможет найти силы для жизни, полной света.

Александр Буфетов, профессор РАН

Колмогоров А. Математика — наука и профессия.

Андрей Колмогоров: Избранные труды. В 6-ти томах. (В частности, 4 том.)

Alexandroff P. Sur la puissance des ensembles mesurables B. CRAS, Paris, 1916. 

Hausdorff F. Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen. Math. Ann., 77: 430–437, 1916.

Souslin M. Ya. Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis // C. R. Acad. Sci. Paris, 1917. 164: 88–91.

Kolmogoroff A. Une série de Fourier–Lebesgue divergente presque partout // Fundamenta Mathematicae 4 (1): 324–328. 1923.

Kolmogorov A.N., Seliverstov G.A. Sur la convergence des séries de Fourier // C.R. Acad. Sci. Paris , 178 (1924) pp. 303–306.
Kolmogorov A.N., Seliverstov G.A. Sur la convergence des séries de Fourier // Atti Accad. Naz. Lincei, 3 (1926) pp. 307–310.

Cooke R. Uniqueness of Trigonometric Series and Descriptive Set Theory, 1870—1985 // Archive for History of Exact Sciences, 1993, Vol. 45, No. 4 (1993), pp. 281-334.

Александров П. С. Страницы автобиографии // УМН, 34:6(210) (1979), 219–249.

Foschini L. L’attrito della vita. Indagine su Renato Caccioppoli, matematico napoletano, La Nave di Teseo, Milano, 2022.

Gatto R., Toti Rigatelli L. Renato Caccioppoli. Tra mito e storia, Sicania, Messina, 2009.

Gramiccia R. La regola del disordine. Renato Caccioppoli, un matematico ribelle, Editori Riuniti, Roma, 2004.

Pugliese Carratelli G., Renato Caccioppoli, Napoli, Istituto italiano per studi Filosofici, Città del sole, 1987/1999. ISBN 88-8292-019-4.

Toma P. A. Renato Caccioppoli. L’enigma, Edizioni Scientifiche Italiane, Napoli, 1992

Демидов С. С., Левшин Б. В. и др. Дело академика Николая Николаевича Лузина.

¹ Всякую ветвь на Мне, не приносящую плода, Он удаляет, и всякую, приносящую плод, очищает, чтобы больший плод приносила.

² См. интервью с В. Тихомировым: kommersant.ru/doc/5951481

³ «Солнце в мир взошло». Пер. М. Лозинского.

⁴ Это сделано Господом — у нас на глазах свершилось чудо.