Задачи со вкусом физики

В результате общения с коллегами и учениками возникают новые типы задач, а иногда и новые способы классификации их типов. Причем новая классификация обычно приводит к обнаружению — по примеру Менделеева — как бы незаполненных клеточек. У Дмитрия Ивановича это были новые элементы, у нас будут новые типы задач по физике.

В этой публикации предлагается два новых типа задач. Сначала мы попробуем построить мост между школьным курсом и реальными проблемами из жизни — это даст нам в руки инструмент для построения новых задач. А потом попробуем пустить время вспять.

Школьные задачки подразумевают в основном знание какого-то одного физического закона, максимум двух, причем формулируются они так, чтобы сразу было видно, какие же законы применять. И в большинстве задачников располагаются они по главам с соответствующими заголовками. Так, школьник, может быть, и понимает, что тело, брошенное под углом к горизонту, испытывает сопротивление воздуха. Однако психологически источником задач для него является учебник, а не природа.

Реальные задачи «взрослой» физики оказываются принципиально иными: их формулировки никто не приспосабливал для решения, они проистекают из окружающего мира. Почему вот эта звезда светится, притом именно так, почему туча летит именно туда, почему наше замечательное творение не светится и не летит? То есть задачи проистекают из природы или «второй природы» — техники, созданной человеком.

Конечно, при попытках решения задач «взрослой» физики используются ограничения и предположения, традиционные для определенного класса задач. Например, полиция не учитывает влияние эффекта Доплера на видимый цвет светофора. Однако надо понимать и помнить, что при погружении в малоизученную область ограничения меняются: например в нанообласти обычные предположения, касающиеся теплопередачи и трения, могут оказаться некорректными.

Что касается тела, брошенного под углом к горизонту, то в некоторых случаях сопротивлением воздуха действительно можно пренебречь. Но многие ли школьники ответят на вопрос, в каких именно случаях? А в каких всё наоборот и, пренебрегая этим, мы получим очевидно неправильный ответ? Причем для будущей работы в физике или смежных областях школьникам важнее даже не столько знать ответы, сколько научиться задавать вопросы.

Для упрощения модели задачи здесь разделены на две категории — школьные и взрослые. Возникает естественный вопрос: лежит ли что-то между ними? Для обучения физике наличие такого промежуточного материала было бы весьма полезно… И я вот вспомнил, как в моей alma mater — в ныне не существующем МИЭМе — Оксана Андреевна Зиза учила нас математике. Во-первых, она учила нас не только делать вычисления, но и знать теоремы. И не только знать, а уметь их доказывать. И не просто доказывать, а — о, ужас! — находить примеры, когда необходимые условия отключаются по одному и утверждение теоремы рушится. Потому что если этого не уметь, а только делать вычисления, то чем будет отличаться человек от программы? Тем, что медленнее работает и получает зарплату?

Проложить мост от школьных задач к взрослым можно двумя способами. Во-первых, можно начать со школьной задачи и постепенно добавлять к ее условиям «взрослые» особенности. Например, можно в любой задаче по механике приложить силы не к точкам, а к линиям (капиллярность), площадкам (давление) или объему (гравитация), можно заменить материальную точку сферой, можно ввести трение там, где его не было, заменить абсолютные упругость, жесткость и прочность неабсолютными, а бесконечную массу Земли — конечной массой небольшого астероида. В электричестве можно ввести проводимость диэлектриков и сопротивление металлов при рассмотрении колебательных контуров, а можно и наоборот, к изумлению читателей, ввести сопротивление обкладок конденсатора и проводимость каркаса катушки.

В некоторых случаях усложнений не будет вообще, иногда они будут небольшими и чисто формальными — и ответ в виде числа заменится диапазоном. А иногда решение необратимо перестанет быть «школьным», зато вполне познавательной будет оценка влияния и обоснование упрощенной модели.

Но можно подойти и с противоположной стороны (как когда-то на математике в МИЭМе): взять «взрослую» задачу и нивелировать ее отличия от школьной, причем не сразу, а постепенно. Этот путь для школьника принципиально сложнее, потому что многие вещи, которые нужны для рассмотрения серьезных задач, ему не известны, и он не может знать, когда их можно «отключить». В частности, потому, что многое в соответствующей физике формулируется на совсем не школьном математическом языке. Тем не менее есть задачи, которые при щадящем подходе школьник смог бы понять.

Можно назвать несколько примеров физических задач, относящихся к природе или человеческой деятельности, в которых не сразу понятно, какие именно процессы играют определяющую роль, но где можно их рассматривать по отдельности. Причем если мы хотим их использовать в учебных целях, то нам нужны такие задачи, где школьник, нормально усвоивший обычную программу, сможет при небольшой помощи преподавателя прийти к выводу, что там замешаны сразу несколько процессов, или даже разобраться, какие из них оказываются наиболее существенны. Приведем десяток примеров, связанных либо с природой, либо с человеческой деятельностью:

• Почему в горах на ледниках образуются «ледяные столбы» с большим камнем наверху и «ледяные стаканы» с малым камнем на дне (рис. 1)?

• Почему по весне вокруг деревьев и столбов протаивают кольцевые канавки (рис. 2)?

• Почему скрипит снег?
• Почему бумага рвется по сгибу?
• Что за искры летят, когда что-либо точат на точильном круге или абразивным диском режут металл (рис. 3)?

• Каковы четыре возможных механизма выхода из строя нагревательного элемента электрочайника? (Из них снаружи видны лишь три, см. рис. 4.)

• Каковы четыре механизма нарушения пропорциональности тока и напряжения в однородном проводнике, т. е. нарушения закона Ома? (Есть еще один, но до него без Максвелла не добраться.)
• Почему при варке продуктов, если крышка на кастрюле лежит аккуратно, без больших зазоров, то пена поднимается до крышки и через щели просачивается наружу, а если крышка сдвинута и щель широкая, то пена не поднимается?
• Если у нас имеется калильная лампа и тело, излучающее свет, находится в пламени, то какова должна быть зависимость коэффициента излучения тела от длины волны, чтобы оно светилось наиболее ярко?
• Наступила зима. Перед нами на земле стоит стол, ножки и рама — тонкие, железные, столешница — стеклянный лист. Сверху падает снег, а потом он протаивает. Почему он протаивает над железными полосами, на которых лежит стекло (рис. 5)?

Это подход со стороны серьезных задач, но он не единственный. В литературе нашелся и другой оригинальный подход. Берем нормальную физическую ситуацию, совершаем какую-то радикальную глупость и спрашиваем, что будет дальше. Так построена книга Рэндалла Манро «А что, если?». Приведем первые пять физических вопросов, рассмотренных в ней:

• Что если Земля и всё, что на ней находится, внезапно перестанет вращаться, но при этом атмосфера сохранит свою скорость движения?
• Что если попытаться отбить бейсбольный мяч, брошенный со скоростью в 90% от скорости света?
• Что если все люди на Земле одновременно направят на Луну лазерные указки? Изменит ли она свой цвет?
• Что если все жители Земли встали бы рядом и разом подпрыгнули, а потом одновременно приземлились?
• Что если засунуть постоянно работающий фен в воздухонепроницаемый ящик размером 1×1×1 м?

Какое отношение имеют эти задачи к нашей проблеме — построению моста между школьной и взрослой физиками? Самое непосредственное, потому что в них есть единственное вмешательство в природную картину. Наш мозг автоматически фокусируется на исключении какого-то фактора и тем самым делает шаг в направлении школы. Может быть, именно поэтому такие задачи воспринимаются как простые и понятные.

Вполне возможно, что преподаватели физики могли бы предложить подобные задачи, сократив этим психологический разрыв между школой и «взрослой» физикой. Причем подобные вопросы во многих случаях только кажутся простыми и быстро погружают учителей и учеников во вполне серьезный материал.

А теперь обратимся к обещанному выше другому источнику задач — к машине времени. Все пристегнулись? Если взять школьный задачник по физике, то видно, что заметная доля всех задач относится к процессам, т. е. ситуациям, когда значения параметров зависят от времени. Но если мы изучаем процесс, то могут быть предложены два задания. Первое: зная текущую ситуацию, предсказать дальнейший ход событий. Например, если рассматривается прямой центральный абсолютно упругий удар, то нужно, зная массы и скорости, найти скорости после соударения. Вторая задача: зная текущую ситуацию, определить, что было раньше, какие именно события к этой текущей ситуации могли привести.

В задачниках эта вторая задача (т. е. определить, что было раньше) практически не встречается. Хотя вообще говоря во «взрослой» физике она присутствует (например, расшифровка данных с трековых детекторов элементарных частиц), да и вообще в культуре она широко известна: существуют шахматные задачи, в которых надо понять, откуда взялась текущая позиция; причем в шахматах есть много типов таких задач!

Попробуем понять, почему сложилась такая ситуация и нельзя ли ее использовать в преподавании, ошарашив учеников — о, ужас! — ни на что не похожей задачей. Ведь если можно составить систему уравнений для описываемых процессов, то безразлично, насколько непривычным это всё поначалу выглядит. Это иногда даже используется, чтобы разнообразить задачи чисто формально. Например, в традиционном абсолютно упругом, прямом и центральном ударе объявляют неизвестными одну из исходных и одну из результирующих скоростей. Или еще «страшнее» — одну из скоростей и одну из масс.

Между тем прогнозирование ситуации и выяснение того, что там было раньше, — интуитивно совершенно разные вещи. В школьных физических задачах вариант развития событий нам сразу кажется однозначным. А как могла быть устроена стартовая ситуация, если плоскость горизонтальная и с трением, и в данный момент скорость объекта обнулилась в начале координат? Очевидно, что способов более, чем бесконечно много. Догадается ли школьник ограничить область поиска постоянным или, по крайней мере, центрально-симметричным коэффициентом трения? То есть для содержательного ответа на вопрос о том, что же там было, надо либо ограничить область поиска так, чтобы ответ был единственным (как выше при этом самом ударе), либо ограничить ее лишь слегка. Так, чтобы предоставить ученику возможность структурировать этот мир, построить его модель и выделить в нем участок (пример — центрально-симметричный коэффициент трения), допускающий разумный ответ.

Попутно еще один новый тип задач по физике: задача дается с частично свободным условием и предлагается сделать из нее две — одну возможно проще, а другую — возможно сложнее. Второе, кстати, может быть сложнее, чем первое.

Материалом для подобного «развлечения» могут быть любые процессы, изучаемые в школе, например те же соударения. Мы получаем данные о разлетающихся после соударения телах, так что же мы можем сказать о ситуации с ними до соударения? При каких ограничениях сможем выяснить что-то определенное, и что именно? Можно использовать процессы теплообмена: если имеется литр воды при температуре 40 °C, то что мы можем сказать о тех двух порциях, которые смешивали? А если часть параметров известна? А если подключить фазовые переходы? А если это разные вещества и есть теплота смешения? Ну и так далее… Можно использовать и процессы в электрических цепях и вообще любые процессы… было бы желание. Был бы интерес.

Были бы задачи, которые вызывают желание и интерес.

Леонид Ашкинази