Маленький неадронный коллайдер: мысленный эксперимент с нетранзитивными шарами

Варвара Степанова. Игроки в бильярд. 1920 год
Варвара Степанова. Игроки в бильярд. 1920 год
Александр Поддьяков
Александр Поддьяков

Коллайдер — устройство, с помощью которого физики-экспериментаторы организуют столкновение разных частиц в разных условиях, получают данные о результатах столкновений, обрабатывают их и делают те или иные выводы. Самый известный коллайдер — Большой адронный. Давайте резко уменьшим масштаб и проведем мысленный эксперимент со столкновениями шаров, который я придумал в ходе некоторых размышлений на тему нетранзитивности превосходства (А превосходит В, В — С, а С — А, принцип «камень, ножницы, бумага»).

Из двух трубок, оси которых лежат на одной прямой и которые направлены друг на друга, с одинаковой скоростью синхронно вылетают навстречу друг другу нестандартные шары, массы которых описываются нетранзитивными отношениями превосходства. Из первой трубки последовательно, по одному, в случайном порядке с равной вероятностью летят шары с массами 2, 4, 9, из второй такой же трубки — шары с массами 1, 6, 8. Об этих числах из магического квадрата Мартина Гарднера [1] см. мою заметку в ТрВ-Наука «От нетранзитивности спермы к нетранзитивным композитам» [2], которую воспроизвели «Элементы» [3], за что я им признателен.

Маленький неадронный коллайдер: мысленный эксперимент с нетранзитивными шарами

Маленький неадронный коллайдер: мысленный эксперимент с нетранзитивными шарами

Наборы карандашей, нетранзитивные по длине. Сравниваем по длине каждый карандаш из каждого набора с карандашами из других наборов. Получаем, что красные карандаши оказываются длиннее зеленых 5 раз из 9 их попарных сравнений («схваток»), зеленые длиннее синих — 5 раз из 9 попарных сравнений, а синие длиннее красных — 5 раз из 9 попарных сравнений. Эти числа могут обозначать и нетранзитивные наборы шаров по массам, и значения скоростей движущихся навстречу друг другу шаров, одинаковых по массам.

Рассмотрим, что будет с нетранзитивными по массам сталкивающимися шарами в условиях отсутствия гравитации или тогда, когда гравитацией можно пренебречь (на горизонтальной поверхности без трения). В отличие от частиц в адронном коллайдере, шары в моем не распадаются при столкновении на части, ничего не испускают и не трансформируются во что-то еще. Уже хорошо (модель проще, она про другое, хотя принцип варьирования столкновений сохраняется).

В среднем, в пяти случаях из девяти, в силу закона сохранения импульса, шары из первого набора (2, 4, 9) будут после столкновения следовать прежним курсом (хотя и меньшей скоростью) и менять направление шаров из второго набора (1, 6, 8) на противоположное (считаем удар центральным). Для наглядности можно представить, что будет при центральном соударении легкого мячика от пинг-понга и свинцового шарика того же размера, катившихся с одинаковой скоростью навстречу друг другу (в нашем случае разница масс поменьше, но принцип тот же).

Введем третий набор шаров с массами 3, 5, 7. Можно убедиться, что шары из второго набора 1, 6, 8 будут делать то же самое по отношению к шарам из введенного третьего набора: в 5 из 9 случаев следовать прежним курсом и менять направление движения шара-«оппонента» на противоположное. А шары из третьего набора — таким же образом вести себя по отношению к шарам из первого (принцип «камень, ножницы, бумага»).

Поскольку изобретены наборы нетранзитивных игральных кубиков с нестандартными числами, выигрывающих друг у друга по кругу в соотношении не только 5:4 (что не очень заметно), но и 2:1 (а доказанный предел — 3:1), можно воспользоваться этими числами для генерации шаров с соответствующим соотношением масс и получить еще более выраженные эффекты нетранзитивности в представленном устройстве.

Итак, мой неадронный маленький коллайдер может иллюстрировать ранее не описанные эффекты нетранзитивности на материале механики соударяющихся тел.

А вот задачи, которые я решить не могу (разве что физическую установочку строить), но свое авторство фиксирую.

1. Источника летящих шаров по-прежнему два. Но шары с каждой стороны летят не из узкой трубки по одному, а во множестве, объемным потоком из двух широких труб (насколько, кстати, широких?). Тут при большом количестве летящих шаров будут множественные отскоки от отскочивших шаров и возникнет некое трехмерное пространство столкновений с неким распределением плотностей вероятности: а) положения шаров и б) векторов их скоростей. Вопрос: эффекты нетранзитивности здесь смажутся, усилятся или останутся примерно теми же? Я не знаю. На установочке конечный результат посмотреть было бы легко (может, и сделаю, хотя и не быстро) — в какой поддон справа и слева нападает больше шаров из тех или иных наборов. Но можно ли решить эту задачу аналитически или путем компьютерного моделирования множественных столкновений?

Мне представляется, что при начальном столкновении фронтов шаров эффекты нетранзитивности обнаружатся в полном объеме (а с чего бы им не быть, исходя из представленных выше рассуждений), а потом быстро исчезнут в возникших беспорядочных столкновениях. Будет интересна динамика этого процесса от момента начального столкновения. Построение аналитических решений и компьютерное моделирование, насколько мне представляется, здесь мало помогут из-за эффектов бильярдов Синая на столах с закругленными участками бортов (вид сверху — как у беговой дорожки на стадионе). Там отскоки не просчитываемы уже после нескольких столкновений [4], [5]. Иначе говоря, в нашем коллайдере на следующих этапах столкновений возникнет вариант непросчитываемого динамического хаоса. Но каково будет итоговое соотношение в поддонах в зависимости от разных параметров, в том числе от длины очереди на вылет? Для длины очереди в 1 слой шаров всё кажется понятным, но что дальше?

2. Источника шаров три. Три уже знакомые нам широкие трубы расположены в одной плоскости под углом в 120° друг к другу, на равном расстоянии, и бомбардируют они объемным потоком своих шаров объемные потоки шаров из двух других труб. Возникает несколько иное трехмерное пространство столкновений. Смотреть в условиях гравитации, когда всё в конце концов летит вниз? В условиях, когда гравитацией можно пренебречь и всё в конце концов разлетается свободно? Вопрос тот же — эффекты нетранзитивности смажутся, усилятся или останутся примерно теми же? Какова динамика динамического хаоса? Может, такая же, а может, и нет.

3. Источников шаров четыре, трубы выходят из вершин воображаемого тетраэдра и направлены в его центр (как отрезки воображаемых высот). Бывают ведь и четверки наборов нетранзитивных чисел (а также пятерки, шестерки и так до бесконечности, но слишком много, наверное, пока не надо — и так, кажется, непросто). Вопросы те же.

4. Всё то же, но с шарами разных размеров: массы шаров одинаковые, а размеры (или линейные, или объемные — для двумерных, трехмерных, n-мерных случаев) как-то соответствуют числам из магического квадрата Гарднера. Вопросы те же. Можно поиграть и с шарами разного размера и при этом разной плотности.

5. То же с одинаковыми шарами, но нетранзитивными наборами скоростей вылета.

Такие намечены нестандартные массовые бильярды и почти что статистическая механика на необычном — потенциально нетранзитивном — материале.

6. Не формулирую задачу четко, а лишь даю знать о возникшем у меня вопросе любителям газо- и гидродинамики и турбулентности: могут ли быть какие-то эффекты нетранзитивности при столкновениях многосоставных газовых, жидкостных, аэрозольных, суспензионных и прочих потоков?

Более конкретно: можно ли подобрать такие 3–4 набора из 3–4 веществ каждый, что эти смеси в газообразном состоянии, будучи выдуты в направлении друг друга из двух-трех-четырех источников, в первые моменты покажут интересную картинку нетранзитивности: что-то пойдет несколько больше в одну сторону, несмотря на перемешивание, что-то — в другую? А как насчет аэрозолей и суспензий из нескольких составляющих? Могут ли быть такие аэрозоли, что при их разбрызгивании навстречу друг другу (скажем, из двух-трех-четырех пульверизаторов, направленных друг на друга или на область между ними), потоки показали бы нетранзитивные игры «камень, ножницы, бумага»? Показали бы, желательно, в цвете. Для газообразных смесей это тоже было бы неплохо. Снимать, возможно, надо камерой с высокой частотой кадров и в разных лучах.

И т. д. — заинтересовавшиеся читатели могут придумать свои вопросы и задачи. Практической пользы от моих, вероятно, никакой (?), но повертеть модели может стать кому-то интересно.

Это (и воображаемый коллайдер, и вопросы в развитие) — мои результаты как когнитивного психолога, который изучает не только естественнонаучное и математическое мышление [6], [7], [8], но и сложность познаваемых с их помощью объектов и процессов. Помимо этого, формулирую алгоритмические методы построения потенциально бесконечных цепочек нетранзитивных механических конструкций [9], [10], показываю связь таких объектов с циклическими клеточными автоматами [11], динамику этих автоматов на ограниченных поверхностях разной степени «дырявости» [12], изучаю совместно с доктором физико-математических наук А. В. Лебедевым эффекты нетранзитивности более высокого уровня — метанетранзитивности [13].

В представленной же короткой статье к детерминистским моделям нетранзитивных механических объектов добавлены предпосылки возможной нетранзитивной статистической механики. Или невозможной — ни при каких условиях? Тоже будет результат — выявится фундаментальное ограничение. В статистике (отдельно) и механике (отдельно) нетранзитивность возможна, а в большой статистической механике — нет. И мой маленький коллайдер в простейшей версии — лишь предельный по простоте случай, а дальше всё не так. Тогда интересен вопрос границ, до которых эта модель работает.

Александр Поддьяков, докт. психол. наук

1. Гарднер М. Путешествие во времени. М.: Мир, 1990. С. 71.

2. Поддьяков А. От нетранзитивности спермы к нетранзитивным композитам // Троицкий вариант — наука. 2019. № 276.

3. elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/434633

4. Рабинович М. И., Рульков Н. Ф. Динамический хаос.

5. Фейгельман М. Непредсказуемость в классической механике. Видеолекция. youtube.com/watch?v=oeD3qjz1W9g

6. Поддьяков А. Междисциплинарная позиция исследователя и системный инсайт // Троицкий вариант — наука. 2021. № 339. 

7. Поддьяков А. Создание проблем и задач как инициативное усложнение мира // Образовательная политика. 2022(б). (в печати).

8. Poddiakov A. Learning intransitivity: from intransitive geometrical objects to “rhizomatic” intransitivity // Proceedings of the PME and Yandex Russian conference: Technology and psychology for mathematics education / Ed. by A. Shvarts A. Moscow: HSE Publishing House. Pp. 178–185.

9. Poddiakov A. A method to build n-component intransitive cycles of mechanical constructions. 2022. DOI: 10.13140/RG.2.2.31894.42564

10. Мои видео не очень сложных нетранзитивных триад механических конструкций: youtu.be/watch?v=XSkM2LdNm0Y

11. Поддьяков А. Принцип «камень, ножницы, бумага» в механических игрушках и его «родственные связи» // Наука и жизнь. 2022(а). № 4.

12. Poddiakov A., Valsiner J. Intransitivity cycles and their transformations: How dynamically adapting systems function // Qualitative mathematics for the social sciences: Mathematical models for research on cultural dynamics / Ed. by L. Rudolph. Abingdon, NY: Routledge, 2013. Pp. 343–391.

13. Poddiakov А., Lebedev A. V. Meta-intransitivity: meta-dice, levers and other opportunities.