Как уравнения Навье — Стокса, описывающие движение жидкости и газа, помогают проектировать крыло, прогнозировать погоду и оценивать кровоток, а также почему сентябрьская новость о том, что ИИ решил «задачу тысячелетия», связанную с этими уравнениями, не означает, что выполнять эти работы станет проще.
8 сентября 2026 года корпорация OpenAI опубликовала препринт на 166 страниц и его формализацию на языке Lean [1]. В препринте утверждается: при любой положительной вязкости можно подобрать гладкую — без разрывов и изломов — внешнюю силу, под воздействием которой несжимаемая жидкость, описываемая трехмерными уравнениями Навье — Стокса и находящаяся в состоянии покоя, за конечное время достигает «взрыва» — неограниченной максимальной скорости при ограниченной энергии. Днем раньше Левент Альпёге (Anthropic) и Тристан Бакмастер (Нью-Йоркский университет) выложили три работы о «взрыве» при гладком внешнем воздействии в других гидродинамических моделях. У одной из работ есть третий соавтор — Матей Койкулеску (Принстонский университет) [2].
Используя новую внутреннюю (т. е. еще не доступную коммерчески) модель, OpenAI задействовала группы автономных агентов ИИ для решения вариантов задач Эйлера и Навье — Стокса. Почти 100 агентов за 50 часов решили задачу Эйлера, а 10 тысяч за 88 часов — Навье — Стокса. Еще 17 часов ушло на формализацию результата [1]. По оценкам, вычислительные затраты составили несколько миллионов долларов.
$$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}= -(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}+ \nu \Delta \vec{v}- \frac{1}{\rho}\nabla p+ \vec{f},\\\nabla\cdot\vec{v}=0.$$
Классический вид уравнений Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкости
Уравнения Навье — Стокса
Что это за уравнения. Уравнения Навье — Стокса — это система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая жидкость или газ не как совокупность частиц, а как поле скоростей. В каждой точке пространства и в каждый момент времени поле задает вектор скорости жидкости. По второму закону Ньютона ускорение частицы равно сумме сил, деленной на ее массу. В эту сумму входят сила давления (от высокого к низкому), внешняя сила и сила вязкого трения между слоями, которая сглаживает различия скоростей. Жидкость считается несжимаемой. Работа Леонарда Эйлера с уравнениями без трения опубликована в 1757 году; уравнения с трением Клод Навье представил в 1822-м, Джордж Стокс — в 1845-м [1].
Вопрос, открытый с 1934 года. Итак, уравнения существуют (и применяются для расчетов) уже две сотни лет. А в 1934 году французский математик Жан Лере доказал существование их решения в обобщенном смысле [3]. Но оставался неясным другой вопрос: сохраняется ли гладкость решения на сколь угодно большом промежутке времени? (Гладкость здесь понимается в математическом смысле, как бесконечная дифференцируемость.) Или при любых гладких начальных условиях можно подобрать такую силу, при которой наступает «взрыв» (он же «сингулярность»; скорость становится неограниченной)?
В 2000 году американский Институт математики Клэя включил вопрос о решениях уравнений Навье — Стокса в список задач тысячелетия [1, 3]. Напомним, в этом списке — семь задач из области математики и математической физики. За решение каждой был обещан миллион долларов. И только одна до настоящего момента была решена: российский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре о преобразовании трехмерного объекта в идеальную сферу.
Официальная постановка «проблемы Навье — Стокса» от Института Клэя разбивала задачу на четыре подслучая, и найти решение было нужно только для одного из них. Требовалось доказать гладкость решения при гладких начальных данных без внешней силы или привести гладкие начальные данные и гладкую внешнюю силу, при которых происходит «взрыв». Решение при этом допускалось либо в неограниченном пространстве, либо в замкнутом (периодическом) пространстве трехмерного тора [3]. Препринт OpenAI предлагает решение со «взрывом» для тора и для неограниченного пространства; на вопрос о сохранении гладкости он не отвечает. Еще 7 сентября, до публикации OpenAI, Теренс Тао писал, что решение, при котором приложенная гладкая сила приводит к «взрыву», было широко ожидаемым, и можно предполагать, что и сохранение гладкости будет доказано [5].
Спор о приоритете. Об обстоятельствах, предшествовавших публикациям, стороны рассказывают по-разному.
По заявлению Бакмастера, он и Альпёге почти год вручную и с помощью ИИ доказывали «взрыв» для уравнений Эйлера с внешней силой. (Уравнения Эйлера — более ранний и простой вариант уравнений Навье — Стокса без учета вязкости.) 6 сентября OpenAI предложила ему опубликовать свою работу за день до ее собственной или опубликовать только свою, но сообщить, что результата он добился единолично, пользуясь только OpenAI, и не упоминать Альпёге и Anthropic. Бакмастер отказался. На вопрос, обучалась ли модель на его сессиях в Codex, он не получил ответа. Обвинений в использовании данных ученый предъявлять не стал [2].
После этого OpenAI провела собственную проверку и 10 сентября сообщила о результатах. Компания заявила, что ее работа началась 1 сентября после того, как распространились слухи о том, что есть команда, близкая к результату, что чужих текстов в OpenAI никто не видел, а запросы Бакмастера в Codex за два месяца до публикации не могли повлиять на систему, в том числе через обучение. Приоритет Альпёге и Бакмастера в решении для уравнений Эйлера компания признает и на приз не претендует [1].
Институт Клэя 11 сентября сообщил, что задача «по-видимому, решена», но оценка будет «намеренно неспешной». На странице задачи по-прежнему стоит статус active (открытая) [4]. В этот же день 25 филдсовских лауреатов, среди них Теренс Тао и Петер Шольце, опубликовали декларацию против гонки ИИ-компаний за решением математических задач как «трофеев» (в оригинале — benchmarks, тесты производительности): результаты объявляют в спешке, без разбора методов и ссылок на предшественников [6].
Цена ИИ-открытий
Вставка от выпускающего редактора. Случай с «задачей Навье — Стокса» — тоже в своем роде benchmark. Тут проявились сразу несколько проблем, возникающих на стыке ИИ, науки и социума. Проблема этическая: раньше «плохие ребята» могли своровать идею у «хороших ребят» тем или иным «человеческим» способом, теперь это — ИИ, за которым, как всегда, «бездушные корпорации», для которых решение «статусной» задачи — просто способ прорекламировать свой продукт. И корпорация ради этой цели может «сжигать» пресловутые токены в таких количествах, какие и не снились исследователям.
Проблема приватности: если не воровства (его формально и не было), то утечки идей. Когда вы общаетесь не с коллегой, а с чат-ботом, и кажется, что общаетесь только вы одни, эта штука чему-то учится, и, возможно, этот опыт помогает ей лучше отвечать на вопросы другим. Помните героя сказки, который вырыл ямку и прокричал туда, что у короля ослиные уши?
Проблема профессиональная: что будет с математикой, у которой отнимут красоту идеи, радость озарения, возможность учиться у старших и передавать знания младшим, если ИИ будет решать все задачи? И не просто решать, а приносить решения в «черном ящике» без шансов для человека понять всю логическую цепочку от задачи к ответу (она есть, но составляет миллионы строк формального кода на специализированном языке Lean).
Проблема некоторой однобокости всех этих пропиаренных ИИ-открытий, которые, если приглядеться, оказываются в основном «закрытиями» — т. е. решают задачу с помощью контрпримера, опровержения, и работают внутри некоторой освоенной человеком области знаний, в которой остались белые пятна. Вот их-то неутомимый ИИ может эффективно закрыть. Найти новую задачу (то, что называют субъектностью) — вроде как еще нет.
Наконец, проблема практической пользы. Предыдущий «хит», задача Эрдёша — это чисто математическая игра ума (хотя, как знать, есть случаи, когда совершенно далекие от практики выкладки лет через 200–300 становились основой сверхполезных технологий). Уравнения Навье — Стокса — основа вычислительной гидродинамики (CFD — computational fluid dynamics), прикладной науки, проникающей во многие сферы нашей жизни. Летят самолеты — как говорится, привет Кибальчишу; строится прогноз погоды — тоже привет Кибальчишу… Ниже будет разбор нескольких характерных случаев. Расчеты жизненно важны и съедают тонну ресурсов. Если коротко, бывают течения ламинарные (а-ля тонкая струйка воды из-под крана) — где малые изменения вызывают малые возмущения, их расчет — чистая математика, — и турбулентные (а теперь откройте кран на всю мощь) — где возмущения большие, образуются вихри, срывы потока; такие штуки научились приближенно считать на современных компьютерах, но всё равно это чертовски сложно и затратно. (Притом, что в реальности это еще более сложная система уравнений — для сжимаемой жидкости.)
«Вопрос тысячелетия», если грубо, и состоит в том, когда система, описываемая уравнениями Навье — Стокса, остается математически стабильной и при каких условиях может «пойти вразнос» и выдать физически некорректный результат. (Представьте себе, что вы размешиваете ложкой чай и из чашки вылетает капля воды с бесконечной скоростью.) Уравнения — это модель, обладающая своими границами применимости, которые лежат на молекулярном уровне. Оказалось, эта модель может «сломаться», если сильно ее мучить. Сюрприз? И стало ли после этого открытия легче считать то, что нужно считать? Как говорят на родине премии, it’s a good question.
Как уже было сказано, уравнения Навье — Стокса — не игры ума, а важнейший инструмент для решения задач во многих сферах нашей жизни. Есть четыре классических примера их использования, коснемся их вкратце.
Прогноз погоды. Сводки погоды, которыми пользуется весь мир, выдает Европейский центр среднесрочных прогнозов. Он разработал модель IFS (Integrated Forecasting System, Интегрированную систему прогнозирования), которая разбивает область прогноза на множество мелких ячеек. В каждой из них решается система уравнений движения атмосферы с учетом вращения Земли (силы Кориолиса), переноса тепла и влаги. Чтобы упростить расчеты, вертикальное ускорение в движении воздуха считают пренебрежимо малым. Шаг сетки сначала составлял около 18 км, в середине 2023 года уплотнился до 9 км. Этого недостаточно, чтобы просчитать отдельные облака, области конвекции и т. п. — вместо этого используют упрощенные параметрические модели среднего действия. Каждые шесть часов расчеты актуализируются по данным наблюдений (около 60 млн в день) со спутников, самолетов, буев и метеостанций. Для уменьшения ошибок проводится серия из 51 расчета с небольшими случайными вариациями параметров. Кстати, именно в области прогнозов погоды в последние годы произошел огромный прогресс благодаря нейросетям — но не «языковым», а тем, что обучены на архиве метеоданных за полвека. Так, Европейский центр прогнозов разработал систему AIFS (Artificial Intelligence Forecasting System), которая с 2025 года работает в паре с IFS [7]. Хоть нейросети и делают прогноз должного качества, быстро и на меньших вычислительных мощностях, без «математики» в этой работе не обойтись.
Профиль крыла. Без уравнений вычислительной гидродинамики (CFD — computational fluid dynamics) невозможно представить разработку самолетов. А об эффективности их использования можно судить по тому, насколько уменьшается число реальных продувов в аэродинамических трубах. В частности, по обзору Boeing, за 1975–2005 год компания сэкономила благодаря расчетам десятки миллионов долларов [8]. Но главное — сами результаты проектирования, позволяющие по заданному распределению давления подбирать наиболее эффективную и экономичную геометрию крыла. Например, по оценке той же фирмы, благодаря расчетам удалось сделать крыло Boeing 777 на 21% толще (больше топлива) и с более тонкой обшивкой при той же крейсерской скорости [8]. Но есть области, в которых цифровое моделирование не заменяет натурные испытания — это отрыв потока от крыла. Усредненные модели не способны просчитать возникающую там турбулентность.
Кровь в артериях. Расчеты течений работают в областях не только километров (погода), метров (авиация), но и миллиметров. Это наше сердце, точнее, коронарные артерии. Когда они забиваются бляшками, нарушающими ток крови, врачи должны определить, насколько это опасно для пациента. Раньше нужно было вводить датчик в сами артерии. Сейчас достаточно провести КТ, построить 3D-модель и провести расчеты, чтобы оценить реальное снижение кровотока. Одна из таких моделей, FFR-CT компании HeartFlow, с 2014 года разрешена для клинического применения [9]. По данным клинических исследований, ее точность — около 85%.
«Формула-1». Гоночный болид должен быть аэродинамически совершенным, чтобы победить, — это понятно. Удивительно, что правила игры в этом соревновании регламентируют сами расчеты наравне с испытаниями в трубе. Так, Регламент FIA задает на сезон-2026 для каждой команды 320 продувов, 2 000 новых расчетов геометрии и 6 млн так называемых вычислительных единиц. Причем чтобы выравнять ситуацию, победителям лимиты урезают, а проигравшим — добавляют [10].
В чём ограничения. Применимость уравнений Навье — Стокса ограничена заложенным в них предположением о том, что жидкость и газ — сплошная среда. Холман и Бойд из Мичиганского университета формулируют этот предел как отношение длины свободного пробега молекул к масштабу, на котором производятся вычисления. Если это отношение превышает 0,05, применимость нарушается, и расчет теряет физическую точность. Прямое же моделирование столкновений молекул для такого объема непомерно дорого [11].
* * *
Так чем же важен результат Альпёге — Бакмастера? (Или OpenAI, выбирайте как считаете справедливым.) Немедленных практических следствий у него нет. Так это формулирует научное онлайн-издание Quanta Magazine [12]. Полученное доказательство означает, что для трехмерной несжимаемой модели положительная вязкость и гладкая внешняя сила не гарантируют гладкого решения с ограниченной энергией от нуля до бесконечности. Однако контрпример — «взрывное» решение с физически абсурдными результатами — в реальности недостижимо и показывает просто ограничения применимости уравнений. Остается неотвеченной другая, не менее важная половина вопроса: всегда ли остается гладким решение без приложений внешней силы? Реальные расчеты идут своим путем, основываясь на экспериментах и наблюдениях, а с недавних пор — еще и «в одной упряжке» с натренированным на профильных данных ИИ. Вот и получается, что, с одной стороны, нейросети — кошмар для математиков, с другой — благословение для инженеров.
Илья Белых
1. OpenAI. On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem. openai.com/index/navier-stokes-solution
2. Buckmaster T. Statement. 07.09.2026. cims.nyu.edu/~tristanb/statement.pdf
3. Fefferman C. L. Existence and smoothness of the Navier–Stokes equation. claymath.org/millennium/navier-stokes-equation
4. Navier-Stokes Announcement. claymath.org/news/navier-stokes-announcement
5. Tao T. Finite time blowup with smooth forcing term… terrytao.wordpress.com/2026/09/07/finite-time-blowup-with-smooth-forcing-term-for-the-incompressible-porous-medium-boussinesq-and-incompressible-euler-equations
6. Tao T. A Severe Misalignment of AI in Mathematics. terrytao.wordpress.com/2026/09/11/a-severe-misalignment-of-ai-in-mathematics
7. The AIFS is launched. ecmwf.int/en/newsletter/177/editorial/aifs-launched
8. Johnson F. T., Tinoco E. N., Yu N. J. Thirty years of development and application of CFD at Boeing Commercial Airplanes // Computers & Fluids. 2005. Vol. 34. P. 1115–1151
9. Heartflow Secures De Novo Clearance… ir.heartflow.com/news-releases/news-release-details/heartflow-secures-de-novo-clearance-us-food-and-drug
10. FIA. 2026 Formula 1 Regulations. Section F. Issue 02, 10.06.2025. Art. F4 (fia.com)
11. Holman T. D., Boyd I. D. Effects of continuum breakdown on hypersonic aerothermodynamics for reacting flow // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23, 027101
12. Quanta Magazine. AI Has Solved One of Math’s $1 Million Millennium Prize Problems. quantamagazine.org/ai-has-solved-one-of-maths-1-million-millennium-prize-problems-20260908